論文の概要: Explicit Formulae to Interchangeably use Hyperplanes and Hyperballs using Inversive Geometry
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.18401v1
- Date: Tue, 28 May 2024 17:43:16 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-05-29 17:20:57.778419
- Title: Explicit Formulae to Interchangeably use Hyperplanes and Hyperballs using Inversive Geometry
- Title（参考訳）: Inversive Geometry を用いた超平面とハイパーボールの相互利用
- Authors: Erik Thordsen, Erich Schubert,
- Abstract要約: 多くのアルゴリズムは、超平面や超球を分離したり、球面データを扱うように特別に設計されたりするなど、差別的境界を必要とする。
2つの識別境界は相互に利用でき、点距離の変化が許容される限り、一般的なユークリッドデータを球形データに変換することができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Many algorithms require discriminative boundaries, such as separating hyperplanes or hyperballs, or are specifically designed to work on spherical data. By applying inversive geometry, we show that the two discriminative boundaries can be used interchangeably, and that general Euclidean data can be transformed into spherical data, whenever a change in point distances is acceptable. We provide explicit formulae to embed general Euclidean data into spherical data and to unembed it back. We further show a duality between hyperspherical caps, i.e., the volume created by a separating hyperplane on spherical data, and hyperballs and provide explicit formulae to map between the two. We further provide equations to translate inner products and Euclidean distances between the two spaces, to avoid explicit embedding and unembedding. We also provide a method to enforce projections of the general Euclidean space onto hemi-hyperspheres and propose an intrinsic dimensionality based method to obtain "all-purpose" parameters. To show the usefulness of the cap-ball-duality, we discuss example applications in machine learning and vector similarity search.
- Abstract（参考訳）: 多くのアルゴリズムは、超平面や超球を分離したり、球面データを扱うように特別に設計されたりするなど、差別的境界を必要とする。
逆幾何学を適用することにより、2つの識別境界を相互に利用でき、点距離の変化が許容されるたびに、一般的なユークリッドデータを球形データに変換することができることを示す。
我々は、一般的なユークリッドデータを球形データに埋め込んで、それを埋め込むための明示的な公式を提供する。
さらに、球面上の超平面の分離によって生成された体積と、球面上の超平面の双対性を示す。
さらに、内部積と二つの空間の間のユークリッド距離を変換し、明示的な埋め込みや非埋め込みを避けるための方程式を提供する。
また、一般ユークリッド空間を半超球面に投影する手法を提案し、「全目的」パラメータを得るための本質的な次元に基づく手法を提案する。
キャップボール双対性の有用性を示すために,機械学習とベクトル類似性探索の例について論じる。
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