論文の概要: Matrix concentration inequalities and efficiency of random universal sets of quantum gates

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2202.05371v3
• Date: Wed, 12 Apr 2023 16:06:19 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-04-13 19:23:17.732836
• Title: Matrix concentration inequalities and efficiency of random universal sets of quantum gates
• Title（参考訳）: ランダムな量子ゲートの普遍集合の行列濃度不等式と効率
• Authors: Piotr Dulian and Adam Sawicki
• Abstract要約: ランダム集合 $mathcalS の部分集合 U(d)$ に対して、$mathcalS$ が $delta$-approximate $t$-design となる確率の有界性を与える。 正確な$t$-designから引き出された$mathcalS$に対して、$delta$-approximate $t$-designが不等式$mathbbPleft(delta geq x right)leq 2D_tを満たす確率を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: For a random set $\mathcal{S} \subset U(d)$ of quantum gates we provide bounds on the probability that $\mathcal{S}$ forms a $\delta$-approximate $t$-design. In particular we have found that for $\mathcal{S}$ drawn from an exact $t$-design the probability that it forms a $\delta$-approximate $t$-design satisfies the inequality $\mathbb{P}\left(\delta \geq x \right)\leq 2D_t \, \frac{e^{-|\mathcal{S}| x \, \mathrm{arctanh}(x)}}{(1-x^2)^{|\mathcal{S}|/2}} = O\left( 2D_t \left( \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} \right)^{|\mathcal{S}|} \right)$, where $D_t$ is a sum over dimensions of unique irreducible representations appearing in the decomposition of $U \mapsto U^{\otimes t}\otimes \bar{U}^{\otimes t}$. We use our results to show that to obtain a $\delta$-approximate $t$-design with probability $P$ one needs $O( \delta^{-2}(t\log(d)-\log(1-P)))$ many random gates. We also analyze how $\delta$ concentrates around its expected value $\mathbb{E}\delta$ for random $\mathcal{S}$. Our results are valid for both symmetric and non-symmetric sets of gates.
• Abstract（参考訳）: 量子ゲートのランダム集合 $\mathcal{s} \subset u(d)$ に対して、$\mathcal{s}$ が $\delta$-approximate $t$-design となる確率の境界を与える。 In particular we have found that for $\mathcal{S}$ drawn from an exact $t$-design the probability that it forms a $\delta$-approximate $t$-design satisfies the inequality $\mathbb{P}\left(\delta \geq x \right)\leq 2D_t \, \frac{e^{-|\mathcal{S}| x \, \mathrm{arctanh}(x)}}{(1-x^2)^{|\mathcal{S}|/2}} = O\left( 2D_t \left( \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} \right)^{|\mathcal{S}|} \right)$, where $D_t$ is a sum over dimensions of unique irreducible representations appearing in the decomposition of $U \mapsto U^{\otimes t}\otimes \bar{U}^{\otimes t}$. この結果を用いて、確率$p$ で$\delta$-approximate $t$-design を得るには、$o( \delta^{-2}(t\log(d)-\log(1-p))) 個のランダムゲートが必要であることを示す。 また、$\delta$はその期待値$\mathbb{E}\delta$ for random $\mathcal{S}$にどのように集中するかを分析する。 我々の結果は対称ゲートと非対称ゲートの両方に対して有効である。

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