論文の概要: Convex Analysis at Infinity: An Introduction to Astral Space
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2205.03260v1
- Date: Fri, 6 May 2022 14:31:28 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-05-09 14:25:00.862865
- Title: Convex Analysis at Infinity: An Introduction to Astral Space
- Title（参考訳）: Infinityにおける凸解析:アストラル空間入門
- Authors: Miroslav Dud\'ik, Ziwei Ji, Robert E. Schapire, and Matus Telgarsky
- Abstract要約: $mathbbRn$ 上の凸函数は、有限最小化子を持つわけではない。
無限遠点が加わったような$mathbbRn$のコンパクトな拡張であるアストラル空間について研究する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 30.35000108434166
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Not all convex functions on $\mathbb{R}^n$ have finite minimizers; some can
only be minimized by a sequence as it heads to infinity. In this work, we aim
to develop a theory for understanding such minimizers at infinity. We study
astral space, a compact extension of $\mathbb{R}^n$ to which such points at
infinity have been added. Astral space is constructed to be as small as
possible while still ensuring that all linear functions can be continuously
extended to the new space. Although astral space includes all of
$\mathbb{R}^n$, it is not a vector space, nor even a metric space. However, it
is sufficiently well-structured to allow useful and meaningful extensions of
concepts of convexity, conjugacy, and subdifferentials. We develop these
concepts and analyze various properties of convex functions on astral space,
including the detailed structure of their minimizers, exact characterizations
of continuity, and convergence of descent algorithms.
- Abstract（参考訳）: {\mathbb{r}^n$ 上のすべての凸函数が有限の最小値を持つわけではない。
本研究は,無限大におけるそのような最小化の理解理論の開発を目的とする。
我々は、そのような無限大の点が加えられた$\mathbb{r}^n$ のコンパクト拡大であるアストラル空間について研究する。
アストラル空間はできるだけ小さいように構成され、すべての線型函数が新しい空間へ連続的に拡張されることを保証する。
アストラル空間はすべての$\mathbb{r}^n$を含むが、ベクトル空間でも距離空間でもない。
しかし、凸性、共役性、および部分微分の概念の有用かつ有意義な拡張を可能にするには十分に構造化されている。
これらの概念を開発し,アストラル空間上の凸関数の細部構造,連続性の厳密なキャラクタリゼーション,降下アルゴリズムの収束など,様々な性質を分析する。
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