論文の概要: Geometry of degenerate quantum states, configurations of $m$-planes and invariants on complex Grassmannians
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.03234v1
- Date: Thu, 4 Apr 2024 06:39:28 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-05 15:33:48.704496
- Title: Geometry of degenerate quantum states, configurations of $m$-planes and invariants on complex Grassmannians
- Title（参考訳）: 縮退量子状態の幾何学、$m$平面の構成、複素グラスマン多様体上の不変量
- Authors: Alexander Avdoshkin,
- Abstract要約: 退化状態の幾何学を非アーベル接続(英語版)$A$に還元する方法を示す。
部分空間のそれぞれに付随する独立不変量を見つける。
それらのいくつかはベリー・パンチャラトナム位相を一般化し、1次元部分空間の類似点を持たないものもある。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 55.2480439325792
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Understanding the geometric information contained in quantum states is valuable in various branches of physics, particularly in solid-state physics when Bloch states play a crucial role. While the Fubini-Study metric and Berry curvature form offer comprehensive descriptions of non-degenerate quantum states, a similar description for degenerate states did not exist. In this work, we fill this gap by showing how to reduce the geometry of degenerate states to the non-abelian (Wilczek-Zee) connection $A$ and a previously unexplored matrix-valued metric tensor $G$. Mathematically, this problem is equivalent to finding the $U(N)$ invariants of a configuration of subspaces in $\mathbb{C}^n$. For two subspaces, the configuration was known to be described by a set of $m$ principal angles that generalize the notion of quantum distance. For more subspaces, we find $3 m^2 - 3 m + 1$ additional independent invariants associated with each triple of subspaces. Some of them generalize the Berry-Pancharatnam phase, and some do not have analogues for 1-dimensional subspaces. We also develop a procedure for calculating these invariants as integrals of $A$ and $G$ over geodesics on the Grassmannain manifold. Finally, we briefly discuss possible application of these results to quantum state preparation and $PT$-symmetric band structures.
- Abstract（参考訳）: 量子状態に含まれる幾何学的情報を理解することは物理学の様々な分野、特にブロッホ状態が重要な役割を果たすときの固体物理学において重要である。
フビニ・スタディ計量とベリー曲率形式は非退化量子状態の包括的記述を提供するが、退化状態に関する同様の記述は存在しなかった。
この研究では、退化状態の幾何を非アーベル(ウィルツェク=ゼー)接続$A$と以前に探索されなかった行列値計量テンソル$G$に還元する方法を示すことで、このギャップを埋める。
数学的には、この問題は$\mathbb{C}^n$ の部分空間の構成の $U(N)$不変量を見つけることと等価である。
2つの部分空間に対して、構成は量子距離の概念を一般化する$m$主角の集合によって記述されることが知られている。
さらなる部分空間について、3 m^2 - 3 m + 1$ の独立不変量と部分空間の3つの部分空間のそれぞれに付随する独立不変量を求める。
それらのいくつかはベリー・パンチャラトナム位相を一般化し、1次元部分空間の類似点を持たないものもある。
また、グラスマンネイン多様体上の測地線上での$A$と$G$の積分としてこれらの不変量を計算する手順も開発する。
最後に、これらの結果の量子状態準備および$PT$-symmetric Band構造への応用について簡単に論じる。
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