論文の概要: Learning Relaxation for Multigrid

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2207.11255v1
• Date: Mon, 25 Jul 2022 12:43:50 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-07-26 15:59:10.217461
• Title: Learning Relaxation for Multigrid
• Title（参考訳）: マルチグリッドのための学習緩和
• Authors: Dmitry Kuznichov
• Abstract要約: ニューラルネットワークを用いて、ランダムな係数を持つ拡散作用素のアンサンブルの緩和パラメータを学習する。 比較的小さなグリッド上での学習緩和パラメータを2グリッド法とGerlfandの公式を損失関数として容易に実装できることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.14219428942199
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: During the last decade, Neural Networks (NNs) have proved to be extremely effective tools in many fields of engineering, including autonomous vehicles, medical diagnosis and search engines, and even in art creation. Indeed, NNs often decisively outperform traditional algorithms. One area that is only recently attracting significant interest is using NNs for designing numerical solvers, particularly for discretized partial differential equations. Several recent papers have considered employing NNs for developing multigrid methods, which are a leading computational tool for solving discretized partial differential equations and other sparse-matrix problems. We extend these new ideas, focusing on so-called relaxation operators (also called smoothers), which are an important component of the multigrid algorithm that has not yet received much attention in this context. We explore an approach for using NNs to learn relaxation parameters for an ensemble of diffusion operators with random coefficients, for Jacobi type smoothers and for 4Color GaussSeidel smoothers. The latter yield exceptionally efficient and easy to parallelize Successive Over Relaxation (SOR) smoothers. Moreover, this work demonstrates that learning relaxation parameters on relatively small grids using a two-grid method and Gelfand's formula as a loss function can be implemented easily. These methods efficiently produce nearly-optimal parameters, thereby significantly improving the convergence rate of multigrid algorithms on large grids.
• Abstract（参考訳）: 過去10年間、ニューラルネットワーク(nns)は、自動運転車、医療診断、検索エンジン、さらにはアート創造など、多くのエンジニアリング分野で非常に効果的なツールであることが証明されてきた。 実際、NNは伝統的なアルゴリズムを著しく上回っている。 最近注目を浴びている分野の1つは、数値解法、特に離散偏微分方程式の設計にnnsを使うことである。 近年の論文では、離散偏微分方程式や他のスパース行列問題を解くための主要な計算ツールであるマルチグリッド法の開発にnnsを採用することを検討している。 我々はこれらの新しいアイデアを拡張し、この文脈ではあまり注目されていないマルチグリッドアルゴリズムの重要な構成要素である、いわゆる緩和演算子(スムーサーとも呼ばれる)に焦点を当てる。 NNを用いてランダムな係数を持つ拡散作用素のアンサンブル、ヤコビ型スムース、および4Color GaussSeidelスムースのために緩和パラメータを学習するためのアプローチを検討する。 後者は極めて効率的で、連続したオーバーリラクゼーション(sor)スムーザの並列化が容易である。 さらに,2グリッド法とGerlfandの公式を損失関数として,比較的小さな格子上での学習緩和パラメータを容易に実装できることを示す。 これらの手法は, ほぼ最適パラメータを効率的に生成し, 大規模グリッド上での乗算アルゴリズムの収束率を大幅に向上させる。

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