論文の概要: Multi-level Neural Networks for high-dimensional parametric obstacle problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.05026v1
• Date: Mon, 07 Apr 2025 12:50:56 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-04-08 14:08:46.679187
• Title: Multi-level Neural Networks for high-dimensional parametric obstacle problems
• Title（参考訳）: 高次元パラメトリック障害物問題に対するマルチレベルニューラルネットワーク
• Authors: Martin Eigel, Cosmas Heiß, Janina E. Schütte,
• Abstract要約: 挑戦的(ランダムな)パラメトリック障害物問題の解法を開発し,解析した。 障害物問題の高次元解は、特別に構築された畳み込みニューラルネットワーク(CNN)によって近似される 数値実験は、この挑戦的な問題に対する最先端のパフォーマンスを示している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: A new method to solve computationally challenging (random) parametric obstacle problems is developed and analyzed, where the parameters can influence the related partial differential equation (PDE) and determine the position and surface structure of the obstacle. As governing equation, a stationary elliptic diffusion problem is assumed. The high-dimensional solution of the obstacle problem is approximated by a specifically constructed convolutional neural network (CNN). This novel algorithm is inspired by a finite element constrained multigrid algorithm to represent the parameter to solution map. This has two benefits: First, it allows for efficient practical computations since multi-level data is used as an explicit output of the NN thanks to an appropriate data preprocessing. This improves the efficacy of the training process and subsequently leads to small errors in the natural energy norm. Second, the comparison of the CNN to a multigrid algorithm provides means to carry out a complete a priori convergence and complexity analysis of the proposed NN architecture. Numerical experiments illustrate a state-of-the-art performance for this challenging problem.
• Abstract（参考訳）: そこで, パラメータが関連する偏微分方程式(PDE)に影響を与え, 障害物の位置と表面構造を決定する。 支配方程式として、定常楕円拡散問題を仮定する。 障害物問題の高次元解は、特別に構築された畳み込みニューラルネットワーク(CNN)によって近似される。 このアルゴリズムは有限要素制約多重グリッドアルゴリズムにインスパイアされ、解写像へのパラメータを表す。 まず、マルチレベルデータが適切なデータ前処理によってNNの明示的な出力として使用されるため、効率的な実用的な計算を可能にします。 これにより、トレーニングプロセスの有効性が向上し、その後、自然エネルギー規範の小さな誤りにつながる。 第二に、CNNとマルチグリッドアルゴリズムの比較は、提案したNNアーキテクチャの完全な優先順位収束と複雑性解析を行う手段を提供する。 数値実験は、この挑戦的な問題に対する最先端のパフォーマンスを示している。

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