論文の概要: Sparsity-Constrained Optimal Transport

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.15466v1
• Date: Fri, 30 Sep 2022 13:39:47 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-10-03 14:50:15.240006
• Title: Sparsity-Constrained Optimal Transport
• Title（参考訳）: 空間制約による最適輸送
• Authors: Tianlin Liu, Joan Puigcerver, Mathieu Blondel
• Abstract要約: 正規化された最適輸送は、ニューラルネットワークの損失層やマッチング層として、ますます利用されている。 本稿では,交通計画に明示的な基数制約を課したOTに対する新しいアプローチを提案する。 本手法は,非正規化OT($k$の場合)と二次正規化OT($k$が十分に大きい場合)の中間地盤と考えることができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 27.76137474217754
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Regularized optimal transport (OT) is now increasingly used as a loss or as a matching layer in neural networks. Entropy-regularized OT can be computed using the Sinkhorn algorithm but it leads to fully-dense transportation plans, meaning that all sources are (fractionally) matched with all targets. To address this issue, several works have investigated quadratic regularization instead. This regularization preserves sparsity and leads to unconstrained and smooth (semi) dual objectives, that can be solved with off-the-shelf gradient methods. Unfortunately, quadratic regularization does not give direct control over the cardinality (number of nonzeros) of the transportation plan. We propose in this paper a new approach for OT with explicit cardinality constraints on the transportation plan. Our work is motivated by an application to sparse mixture of experts, where OT can be used to match input tokens such as image patches with expert models such as neural networks. Cardinality constraints ensure that at most $k$ tokens are matched with an expert, which is crucial for computational performance reasons. Despite the nonconvexity of cardinality constraints, we show that the corresponding (semi) dual problems are tractable and can be solved with first-order gradient methods. Our method can be thought as a middle ground between unregularized OT (recovered in the limit case $k=1$) and quadratically-regularized OT (recovered when $k$ is large enough). The smoothness of the objectives increases as $k$ increases, giving rise to a trade-off between convergence speed and sparsity of the optimal plan.
• Abstract（参考訳）: 正規化された最適輸送(OT)は、ニューラルネットワークの損失層やマッチング層としてますます利用されている。 エントロピー正規化otはシンクホーンアルゴリズムで計算できるが、完全な輸送計画につながり、すべてのソースが(理論上は)すべてのターゲットと一致している。 この問題に対処するため、いくつかの作品が代わりに二次正則化を研究している。 この正規化はスパーシリティを保ち、非拘束的で滑らかな(半)双対目的へとつながり、既成の勾配法で解ける。 残念なことに、二次正規化は輸送計画の基数(非ゼロ数)を直接制御するものではない。 本稿では,交通計画の基数制約を明示したOTに対する新しいアプローチを提案する。 我々の研究は、画像パッチのような入力トークンとニューラルネットワークのようなエキスパートモデルとのマッチングにOTを使用する、専門家のまばらな混合のアプリケーションによって動機付けられています。 濃度制約は、最大で$k$トークンが専門家と一致していることを保証する。 濃度制約の非凸性にもかかわらず、対応する(セミ)双対問題は扱いやすく、一階勾配法で解くことができる。 本手法は,非正規化OT(極限の場合$k=1$)と二次正規化OT($k$が十分大きいときに回収される)の中間地盤とみなすことができる。 目標の滑らかさは、$k$が増加するにつれて増加し、収束速度と最適計画の間隔の間のトレードオフを引き起こす。

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