論文の概要: Convergence analysis of a quasi-Monte Carlo-based deep learning algorithm for solving partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2210.16196v1
• Date: Fri, 28 Oct 2022 15:06:57 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-10-31 17:52:50.945024
• Title: Convergence analysis of a quasi-Monte Carlo-based deep learning algorithm for solving partial differential equations
• Title（参考訳）: 偏微分方程式解のための準モンテカルロ型深層学習アルゴリズムの収束解析
• Authors: Fengjiang Fu and Xiaoqun Wang
• Abstract要約: ポアソン方程式と静的シュリンガー方程式のノイマン問題の解法として準モンテカルロ法(QMC)をディープリッツ法(DRM)に適用することを提案する。 誤差推定では、深層学習アルゴリズムを用いてPDEを解いた誤差を一般化誤差、近似誤差、訓練誤差に分解する。 数値実験により,提案手法はすべてのケースにおいてより高速に収束し,ランダム化QMCベースのDRMの勾配推定器の分散はDRMよりもはるかに小さいことがわかった。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Deep learning methods have achieved great success in solving partial differential equations (PDEs), where the loss is often defined as an integral. The accuracy and efficiency of these algorithms depend greatly on the quadrature method. We propose to apply quasi-Monte Carlo (QMC) methods to the Deep Ritz Method (DRM) for solving the Neumann problems for the Poisson equation and the static Schr\"{o}dinger equation. For error estimation, we decompose the error of using the deep learning algorithm to solve PDEs into the generalization error, the approximation error and the training error. We establish the upper bounds and prove that QMC-based DRM achieves an asymptotically smaller error bound than DRM. Numerical experiments show that the proposed method converges faster in all cases and the variances of the gradient estimators of randomized QMC-based DRM are much smaller than those of DRM, which illustrates the superiority of QMC in deep learning over MC.
• Abstract（参考訳）: 深層学習法は偏微分方程式(PDE)の解法において大きな成功を収めており、損失はしばしば積分として定義される。 これらのアルゴリズムの精度と効率は二次法に大きく依存する。 本稿では,ポアソン方程式のノイマン問題と静的schr\"{o}dinger方程式を解くために,準モンテカルロ法(qmc)をディープリッツ法(drm)に適用することを提案する。 誤差推定では、深層学習アルゴリズムを用いてPDEを解いた誤差を一般化誤差、近似誤差、訓練誤差に分解する。 上位境界を確立し、QMCベースのDRMがDRMよりも漸近的に小さい誤差を達成できることを証明する。 数値実験により,提案手法はすべてのケースにおいてより高速に収束し,ランダム化されたQMCベースのDRMの勾配推定器のばらつきはDRMのそれよりもはるかに小さいことがわかった。

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