論文の概要: Metricizing the Euclidean Space towards Desired Distance Relations in Point Clouds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.03674v1
• Date: Mon, 7 Nov 2022 16:37:29 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-08 18:59:08.435963
• Title: Metricizing the Euclidean Space towards Desired Distance Relations in Point Clouds
• Title（参考訳）: 点雲の所望距離関係へのユークリッド空間の計量化
• Authors: Stefan Rass, Sandra K\"onig, Shahzad Ahmad, Maksim Goman
• Abstract要約: 我々は教師なし学習アルゴリズム、具体的には$k$-Means and density-based clustering algorithm(DBSCAN)を攻撃している。 クラスタリングアルゴリズムの結果は、特定の距離関数を使用するための標準化された固定された処方令がなければ、一般的には信頼できない可能性がある。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.2366208723499545
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Given a set of points in the Euclidean space $\mathbb{R}^\ell$ with $\ell>1$, the pairwise distances between the points are determined by their spatial location and the metric $d$ that we endow $\mathbb{R}^\ell$ with. Hence, the distance $d(\mathbf x,\mathbf y)=\delta$ between two points is fixed by the choice of $\mathbf x$ and $\mathbf y$ and $d$. We study the related problem of fixing the value $\delta$, and the points $\mathbf x,\mathbf y$, and ask if there is a topological metric $d$ that computes the desired distance $\delta$. We demonstrate this problem to be solvable by constructing a metric to simultaneously give desired pairwise distances between up to $O(\sqrt\ell)$ many points in $\mathbb{R}^\ell$. We then introduce the notion of an $\varepsilon$-semimetric $\tilde{d}$ to formulate our main result: for all $\varepsilon>0$, for all $m\geq 1$, for any choice of $m$ points $\mathbf y_1,\ldots,\mathbf y_m\in\mathbb{R}^\ell$, and all chosen sets of values $\{\delta_{ij}\geq 0: 1\leq i<j\leq m\}$, there exists an $\varepsilon$-semimetric $\tilde{\delta}:\mathbb{R}^\ell\times \mathbb{R}^\ell\to\mathbb{R}$ such that $\tilde{d}(\mathbf y_i,\mathbf y_j)=\delta_{ij}$, i.e., the desired distances are accomplished, irrespectively of the topology that the Euclidean or other norms would induce. We showcase our results by using them to attack unsupervised learning algorithms, specifically $k$-Means and density-based (DBSCAN) clustering algorithms. These have manifold applications in artificial intelligence, and letting them run with externally provided distance measures constructed in the way as shown here, can make clustering algorithms produce results that are pre-determined and hence malleable. This demonstrates that the results of clustering algorithms may not generally be trustworthy, unless there is a standardized and fixed prescription to use a specific distance function.
• Abstract（参考訳）: ユークリッド空間 $\mathbb{r}^\ell$ with $\ell>1$ の点の集合が与えられると、それらの点の間の対距離は、その空間的位置と、$\mathbb{r}^\ell$ with を与える計量 $d$ によって決定される。 したがって、2つの点の間の距離 $d(\mathbf x,\mathbf y)=\delta$ は、$\mathbf x$ と $\mathbf y$ と $d$ の選択によって固定される。 我々は、値 $\delta$ と点 $\mathbf x,\mathbf y$ を固定する関連する問題を研究し、所望距離 $\delta$ を計算する位相計量 $d$ が存在するかどうかを問う。 この問題は、最大$o(\sqrt\ell)$ の点間の所望の対距離を$\mathbb{r}^\ell$ で同時に与えるメトリックを構築して解くことができることを示した。 We then introduce the notion of an $\varepsilon$-semimetric $\tilde{d}$ to formulate our main result: for all $\varepsilon>0$, for all $m\geq 1$, for any choice of $m$ points $\mathbf y_1,\ldots,\mathbf y_m\in\mathbb{R}^\ell$, and all chosen sets of values $\{\delta_{ij}\geq 0: 1\leq i<j\leq m\}$, there exists an $\varepsilon$-semimetric $\tilde{\delta}:\mathbb{R}^\ell\times \mathbb{R}^\ell\to\mathbb{R}$ such that $\tilde{d}(\mathbf y_i,\mathbf y_j)=\delta_{ij}$, i.e., the desired distances are accomplished, irrespectively of the topology that the Euclidean or other norms would induce. 本稿では,教師なし学習アルゴリズム,具体的には$k$-Means and density-based clustering algorithm(DBSCAN)に対する攻撃効果を示す。 これらには人工知能における多様体的応用があり、以下に示すように、外部から提供される距離測度で実行させることで、クラスタアルゴリズムが事前に決定され、従って可鍛性を持つ結果を生成することができる。 このことはクラスタリングアルゴリズムの結果が、特定の距離関数を使用するための標準化された固定された処方令がない限り、一般的には信頼できないことを示している。

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