論文の概要: The LG Fibration

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.02029v1
• Date: Mon, 5 Dec 2022 05:01:28 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-12-06 18:17:11.380312
• Title: The LG Fibration
• Title（参考訳）: LGのフィブレーション
• Authors: Daniel Livschitz and Weiqing Gu
• Abstract要約: 我々は、$S2n-1$と$Sn$の間の位相接続を介して、$mathbbR2n$と$mathbbRn+1$の間のほぼ可逆写像を示す。 LG Fibrationは、適応型UAV制御におけるHopf Fibrationsの現在の応用と類似して、機械学習とAIに応用されている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.38073142980732994
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Deep Learning has significantly impacted the application of data-to-decision throughout research and industry, however, they lack a rigorous mathematical foundation, which creates situations where algorithmic results fail to be practically invertible. In this paper we present a nearly invertible mapping between $\mathbb{R}^{2^n}$ and $\mathbb{R}^{n+1}$ via a topological connection between $S^{2^n-1}$ and $S^n$. Throughout the paper we utilize the algebra of Multicomplex rotation groups and polyspherical coordinates to define two maps: the first is a contraction from $S^{2^n-1}$ to $\displaystyle \otimes^n_{k=1} SO(2)$, and the second is a projection from $\displaystyle \otimes^n_{k=1} SO(2)$ to $S^{n}$. Together these form a composite map that we call the LG Fibration. In analogy to the generation of Hopf Fibration using Hypercomplex geometry from $S^{(2n-1)} \mapsto CP^n$, our fibration uses Multicomplex geometry to project $S^{2^n-1}$ onto $S^n$. We also investigate the algebraic properties of the LG Fibration, ultimately deriving a distance difference function to determine which pairs of vectors have an invariant inner product under the transformation. The LG Fibration has applications to Machine Learning and AI, in analogy to the current applications of Hopf Fibrations in adaptive UAV control. Furthermore, the ability to invert the LG Fibration for nearly all elements allows for the development of Machine Learning algorithms that may avoid the issues of uncertainty and reproducibility that currently plague contemporary methods. The primary result of this paper is a novel method of nearly invertible geometric dimensional reduction from $S^{2^n-1}$ to $S^n$, which has the capability to extend the research in both mathematics and AI, including but not limited to the fields of homotopy groups of spheres, algebraic topology, machine learning, and algebraic biology.
• Abstract（参考訳）: ディープラーニングは、研究や産業全体にわたるデータから判断への応用に大きな影響を与えてきたが、それらは厳密な数学的基礎を欠いており、アルゴリズム的な結果が事実上可逆的ではない状況を生み出している。 本稿では、$s^{2^n-1}$ と $s^n$ の間の位相接続により、$\mathbb{r}^{2^n}$ と$\mathbb{r}^{n+1}$ のほぼ可逆写像を示す。 一つは$S^{2^n-1}$ から $ {\displaystyle \otimes^n_{k=1} SO(2)$ への縮約であり、もう一つは $ {\displaystyle \otimes^n_{k=1} SO(2)$ から $S^{n}$ への射影である。 これらはlg fibrationと呼ばれる複合マップを形成します。 S^{(2n-1)} \mapsto CP^n$からの超複素幾何を用いたホップ・フィブレーションの生成と類似して、我々のフィブレーションは多複素幾何を用いて$S^{2^n-1}$を$S^n$に投影する。 また、LGフィブレーションの代数的性質を調べ、最終的に距離差関数を導出し、変換の下でどのベクトル対が不変内部積を持つかを決定する。 LG Fibrationは、適応型UAV制御におけるHopf Fibrationsの現在の応用と類似して、機械学習とAIに応用されている。 さらに、ほぼすべての要素のlgファイバレーションを反転させる能力は、現在現代の手法を悩ませている不確実性と再現性の問題を回避できる機械学習アルゴリズムの開発を可能にする。 本研究の主な成果は, 球面のホモトピー群, 代数トポロジー, 機械学習, 代数生物学の分野に限らず, 数学とAIの両方の研究を拡張できるような, ほぼ可逆な幾何学的次元を$S^{2^n-1}$から$S^n$に還元する方法である。

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