論文の概要: Optimal transport map estimation in general function spaces
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.03722v2
- Date: Tue, 2 Jan 2024 21:25:15 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-01-04 17:19:26.179452
- Title: Optimal transport map estimation in general function spaces
- Title（参考訳）: 一般関数空間における最適輸送マップ推定
- Authors: Vincent Divol, Jonathan Niles-Weed, Aram-Alexandre Pooladian
- Abstract要約: 本稿では, 分布$P$とプッシュフォワード分布$T_sharp P$から, 与えられた独立サンプルの関数$T$を推定する問題について検討する。
この設定は、時間とともに物理的システムの進化を表す$T$という科学の応用によって動機付けられている。
一般関数空間における最適輸送写像の推定率を求める統一手法を提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.323588442718926
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We study the problem of estimating a function $T$ given independent samples
from a distribution $P$ and from the pushforward distribution $T_\sharp P$.
This setting is motivated by applications in the sciences, where $T$ represents
the evolution of a physical system over time, and in machine learning, where,
for example, $T$ may represent a transformation learned by a deep neural
network trained for a generative modeling task. To ensure identifiability, we
assume that $T = \nabla \varphi_0$ is the gradient of a convex function, in
which case $T$ is known as an \emph{optimal transport map}. Prior work has
studied the estimation of $T$ under the assumption that it lies in a H\"older
class, but general theory is lacking. We present a unified methodology for
obtaining rates of estimation of optimal transport maps in general function
spaces. Our assumptions are significantly weaker than those appearing in the
literature: we require only that the source measure $P$ satisfy a Poincar\'e
inequality and that the optimal map be the gradient of a smooth convex function
that lies in a space whose metric entropy can be controlled. As a special case,
we recover known estimation rates for H\"older transport maps, but also obtain
nearly sharp results in many settings not covered by prior work. For example,
we provide the first statistical rates of estimation when $P$ is the normal
distribution and the transport map is given by an infinite-width shallow neural
network.
- Abstract（参考訳）: 分布$P$とプッシュフォワード分布$T_\sharp P$から関数$T$の独立サンプルを推定する問題について検討する。
この設定は、時間とともに物理システムの進化を表す$t$と、例えば、生成的モデリングタスクのために訓練されたディープニューラルネットワークによって学習された変換を表す機械学習のアプリケーションによって動機付けられる。
同一性を保証するために、$t = \nabla \varphi_0$ は凸関数の勾配であると仮定し、その場合$t$ は \emph{optimal transport map} と呼ばれる。
以前の研究は、それがH\"古いクラスにあるという仮定のもとに$T$の推定を研究してきたが、一般理論は欠如している。
一般関数空間における最適輸送写像の推定率を求める統一手法を提案する。
我々は、ソース測度 $p$ が poincar\'e の不等式を満たすこと、最適な写像が計量エントロピーを制御できる空間にある滑らかな凸函数の勾配であることのみを要求する。
特別の場合として, h\"older transport map の既知の推定率を回復するが, 事前の作業でカバーされていない多くの設定において, ほぼ鋭い結果が得られる。
例えば、$p$が正規分布であり、トランスポートマップが無限幅の浅いニューラルネットワークによって与えられる場合に、最初の統計的推定率を提供する。
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