論文の概要: Normalizing flows as approximations of optimal transport maps via linear-control neural ODEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.01404v3
• Date: Tue, 29 Oct 2024 17:35:43 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-30 13:36:28.587023
• Title: Normalizing flows as approximations of optimal transport maps via linear-control neural ODEs
• Title（参考訳）: 線形制御ニューラルネットワークによる最適輸送マップの近似としての正規化フロー
• Authors: Alessandro Scagliotti, Sara Farinelli,
• Abstract要約: ニューマライズフロー」は、深層ニューラルネットワークを用いて確率測度間の可逆輸送マップを構築するタスクに関連している。 我々は、絶対連続測度$mu,nuinmathcalP(mathbbRn)$間の$Wamma$-optimal transport map $T$を線形制御ニューラルネットワークのフローとして回収する問題を考える。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 49.1574468325115
• License:
• Abstract: The term "Normalizing Flows" is related to the task of constructing invertible transport maps between probability measures by means of deep neural networks. In this paper, we consider the problem of recovering the $W_2$-optimal transport map $T$ between absolutely continuous measures $\mu,\nu\in\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$ as the flow of a linear-control neural ODE, where the control depends only on the time variable and takes values in a finite-dimensional space. We first show that, under suitable assumptions on $\mu,\nu$ and on the controlled vector fields, the optimal transport map is contained in the $C^0_c$-closure of the flows generated by the system. Assuming that discrete approximations $\mu_N,\nu_N$ of the original measures $\mu,\nu$ are available, we use a discrete optimal coupling $\gamma_N$ to define an optimal control problem. With a $\Gamma$-convergence argument, we prove that its solutions correspond to flows that approximate the optimal transport map $T$. Finally, taking advantage of the Pontryagin Maximum Principle, we propose an iterative numerical scheme for the resolution of the optimal control problem, resulting in an algorithm for the practical computation of the approximated optimal transport map.
• Abstract（参考訳）: Normalizing Flows"という用語は、深層ニューラルネットワークを用いて確率測度間の可逆輸送マップを構築するタスクに関連している。 本稿では、線形制御ニューラルオードの流れとして、絶対連続測度$\mu,\nu\in\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$間の$W_2$-optimal transport map $T$を復元する問題を考察する。 最初に、$\mu,\nu$および制御されたベクトル場上の適切な仮定の下で、最適輸送写像がシステムによって生成されたフローの$C^0_c$-クロージャに含まれることを示す。 元の測度 $\mu,\nu$ の離散近似 $\mu_N,\nu_N$ が利用できると仮定すると、最適制御問題を定義するために離散最適結合 $\gamma_N$ を用いる。 $\Gamma$-convergence の議論では、その解が最適輸送写像 $T$ を近似するフローに対応することを証明している。 最後に、ポントリャーギン極大原理を利用して、最適制御問題の解の反復的数値スキームを提案し、近似された最適輸送写像の実用的な計算法を提案する。

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