論文の概要: Interpolation with the polynomial kernels
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.07658v1
- Date: Thu, 15 Dec 2022 08:30:23 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-12-16 18:12:02.116244
- Title: Interpolation with the polynomial kernels
- Title（参考訳）: 多項式核との補間
- Authors: Giacomo Elefante and Wolfgang Erb and Francesco Marchetti and Emma
Perracchione and Davide Poggiali and Gabriele Santin
- Abstract要約: カーネルは機械学習で広く使われており、カーネルベースの回帰モデルを開発するためのデフォルトの選択肢の1つである。
厳密な正定性がないため、数値解析ではほとんど使われない。
本論文は,これらのカーネルとその関連アルゴリズムの研究において,いくつかの初期結果を確立することを目的としている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.8720142291102135
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The polynomial kernels are widely used in machine learning and they are one
of the default choices to develop kernel-based classification and regression
models. However, they are rarely used and considered in numerical analysis due
to their lack of strict positive definiteness. In particular they do not enjoy
the usual property of unisolvency for arbitrary point sets, which is one of the
key properties used to build kernel-based interpolation methods. This paper is
devoted to establish some initial results for the study of these kernels, and
their related interpolation algorithms, in the context of approximation theory.
We will first prove necessary and sufficient conditions on point sets which
guarantee the existence and uniqueness of an interpolant. We will then study
the Reproducing Kernel Hilbert Spaces (or native spaces) of these kernels and
their norms, and provide inclusion relations between spaces corresponding to
different kernel parameters. With these spaces at hand, it will be further
possible to derive generic error estimates which apply to sufficiently smooth
functions, thus escaping the native space. Finally, we will show how to employ
an efficient stable algorithm to these kernels to obtain accurate interpolants,
and we will test them in some numerical experiment. After this analysis several
computational and theoretical aspects remain open, and we will outline possible
further research directions in a concluding section. This work builds some
bridges between kernel and polynomial interpolation, two topics to which the
authors, to different extents, have been introduced under the supervision or
through the work of Stefano De Marchi. For this reason, they wish to dedicate
this work to him in the occasion of his 60th birthday.
- Abstract（参考訳）: 多項式カーネルは機械学習で広く使われており、カーネルベースの分類と回帰モデルを開発するためのデフォルトの選択肢の1つである。
しかし、厳密な正定性がないため、数値解析ではほとんど使われない。
特に、カーネルベースの補間法を構築するのに使用される重要な性質の1つである任意の点集合に対して、通常の解法的性質を享受しない。
本稿では、近似理論の文脈において、これらのカーネルおよびそれらの関連する補間アルゴリズムの研究のためのいくつかの初期結果を確立することを目的としている。
まず、補間体の存在と一意性を保証する点集合上の必要十分条件を証明する。
次に、これらのカーネルとそのノルムの再生核ヒルベルト空間(あるいはネイティブ空間)を研究し、異なるカーネルパラメータに対応する空間間の包含関係を提供する。
これらの空間が手元にあることで、十分に滑らかな函数に適用できる一般的な誤差推定を導出し、ネイティブ空間を逃れることが可能になる。
最後に、これらのカーネルに効率的な安定アルゴリズムを適用して正確な補間を得る方法を示し、いくつかの数値実験でそれらをテストする。
この分析の後、いくつかの計算的・理論的側面が未解決のままであり、結論節でさらなる研究の方向性を概説する。
この研究は、カーネルと多項式の補間の間にいくつかのブリッジを構築しており、著者が監督下またはステファノ・デ・マルティーニの業績を通じて異なる程度に導入されている2つのトピックである。
そのため、60歳の誕生日にこの作品を献上したいと願っている。
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