論文の概要: Automatic stabilization of finite-element simulations using neural networks and hierarchical matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.12695v1
• Date: Sat, 24 Dec 2022 09:20:30 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-12-27 15:44:23.322842
• Title: Automatic stabilization of finite-element simulations using neural networks and hierarchical matrices
• Title（参考訳）: ニューラルネットワークと階層行列を用いた有限要素シミュレーションの自動安定化
• Authors: Tomasz Sluzalec, Mateusz Dobija, Anna Paszynska, Ignacio Muga, Maciej Paszynski
• Abstract要約: 最適なテスト関数を持つペトロフ・ガレルキンの定式化は有限要素シミュレーションの安定化を可能にする。 低ランク近似を用いて最適試験関数の係数の行列を圧縮する。 このプロセスを加速するために、ニューラルネットワークをトレーニングし、圧縮アルゴリズムの重要なボトルネックを学習する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.3149883354098941
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Petrov-Galerkin formulations with optimal test functions allow for the stabilization of finite element simulations. In particular, given a discrete trial space, the optimal test space induces a numerical scheme delivering the best approximation in terms of a problem-dependent energy norm. This ideal approach has two shortcomings: first, we need to explicitly know the set of optimal test functions; and second, the optimal test functions may have large supports inducing expensive dense linear systems. Nevertheless, parametric families of PDEs are an example where it is worth investing some (offline) computational effort to obtain stabilized linear systems that can be solved efficiently, for a given set of parameters, in an online stage. Therefore, as a remedy for the first shortcoming, we explicitly compute (offline) a function mapping any PDE-parameter, to the matrix of coefficients of optimal test functions (in a basis expansion) associated with that PDE-parameter. Next, as a remedy for the second shortcoming, we use the low-rank approximation to hierarchically compress the (non-square) matrix of coefficients of optimal test functions. In order to accelerate this process, we train a neural network to learn a critical bottleneck of the compression algorithm (for a given set of PDE-parameters). When solving online the resulting (compressed) Petrov-Galerkin formulation, we employ a GMRES iterative solver with inexpensive matrix-vector multiplications thanks to the low-rank features of the compressed matrix. We perform experiments showing that the full online procedure as fast as the original (unstable) Galerkin approach. In other words, we get the stabilization with hierarchical matrices and neural networks practically for free. We illustrate our findings by means of 2D Eriksson-Johnson and Hemholtz model problems.
• Abstract（参考訳）: 最適テスト関数を持つペトロフ・ガレルキン定式化は有限要素シミュレーションの安定化を可能にする。 特に、離散的な試行空間が与えられた場合、最適試験空間は問題依存エネルギーノルムの観点で最高の近似を与える数値スキームを誘導する。 第一に、我々は最適なテスト関数の集合を明示的に知る必要があり、第二に、最適なテスト関数は高価な高密度線形系を誘導する大きなサポートを持っているかもしれない。 それにもかかわらず、pdesのパラメトリック族は、オンラインステージで与えられたパラメータのセットに対して効率的に解くことができる安定化線形システムを得るために(オフラインで)計算努力を投資する価値がある例である。 したがって、最初の欠点に対する対策として、任意のPDEパラメータを、そのPDEパラメータに関連する最適テスト関数(基底展開)の係数の行列にマッピングする関数を明示的に(オフライン)計算する。 次に、第2の欠点の修正として、最適テスト関数の係数の(二乗でない)行列を階層的に圧縮するために低ランク近似を用いる。 このプロセスを加速するために、ニューラルネットワークをトレーニングし、圧縮アルゴリズム(与えられたPDEパラメータ集合)の重要なボトルネックを学習する。 計算結果(圧縮)petrov-galerkin定式化をオンラインで解く際,圧縮行列の低ランク特徴により,安価な行列ベクトル乗算を伴うgmres反復解法を用いる。 我々は、元の(不安定な)galerkinアプローチと同じくらい早く、完全なオンライン手順を示す実験を行う。 言い換えれば、階層行列とニューラルネットワークによる安定化は、事実上無料で得られる。 2d eriksson-johnson および hemholtz モデル問題を用いてこの知見を明らかにした。

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