論文の概要: Principal Component Analysis in Space Forms
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.02750v1
- Date: Fri, 6 Jan 2023 23:48:37 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-10 16:25:38.592114
- Title: Principal Component Analysis in Space Forms
- Title(参考訳): 宇宙空間における主成分分析
- Authors: Puoya Tabaghi, Michael Khanzadeh, Yusu Wang, Sivash Mirarab
- Abstract要約: 主成分分析(PCA)は、現代のデータ科学の成果である。
我々は空間形式、すなわち正(球面)と負(双曲)の曲率を持つ空間でPCAを研究する。
そこで我々は,(1) ユークリッドPCAと同様の等式を解くことでアフィン部分空間を推定し,(2) 異なる次元の最適アフィン部分空間をネスト集合とする,という2つの大きな利点をもたらす特定のコスト関数を提案する。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 12.68016341044634
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Principal component analysis (PCA) is a workhorse of modern data science.
Practitioners typically perform PCA assuming the data conforms to Euclidean
geometry. However, for specific data types, such as hierarchical data, other
geometrical spaces may be more appropriate. We study PCA in space forms; that
is, those with constant positive (spherical) and negative (hyperbolic)
curvatures, in addition to zero-curvature (Euclidean) spaces. At any point on a
Riemannian manifold, one can define a Riemannian affine subspace based on a set
of tangent vectors and use invertible maps to project tangent vectors to the
manifold and vice versa. Finding a low-dimensional Riemannian affine subspace
for a set of points in a space form amounts to dimensionality reduction
because, as we show, any such affine subspace is isometric to a space form of
the same dimension and curvature. To find principal components, we seek a
(Riemannian) affine subspace that best represents a set of manifold-valued data
points with the minimum average cost of projecting data points onto the affine
subspace. We propose specific cost functions that bring about two major
benefits: (1) the affine subspace can be estimated by solving an eigenequation
-- similar to that of Euclidean PCA, and (2) optimal affine subspaces of
different dimensions form a nested set. These properties provide advances over
existing methods which are mostly iterative algorithms with slow convergence
and weaker theoretical guarantees. Specifically for hyperbolic PCA, the
associated eigenequation operates in the Lorentzian space, endowed with an
indefinite inner product; we thus establish a connection between Lorentzian and
Euclidean eigenequations. We evaluate the proposed space form PCA on data sets
simulated in spherical and hyperbolic spaces and show that it outperforms
alternative methods in convergence speed or accuracy, often both.
- Abstract(参考訳): 主成分分析(PCA)は、現代のデータ科学の成果である。
実践者は通常、データがユークリッド幾何学に適合するとpcaを行う。
しかし、階層データのような特定のデータ型の場合、他の幾何学的空間の方が適切である。
我々は、ゼロ曲率(ユークリッド)空間に加えて、定数正(球面)および負(双曲)曲率を持つ空間形式でPCAを研究する。
リーマン多様体上の任意の点において、接ベクトルの集合に基づくリーマンアフィン部分空間を定義でき、可逆写像を使って多様体への接ベクトルを射影し、逆もまたできる。
空間形式における点の集合に対する低次元リーマンアフィン部分空間を見つけることは、そのようなアフィン部分空間が同じ次元と曲率の空間形式に等長であるため、次元の減少に等しい。
主成分を見つけるために、アフィン部分空間にデータ点を投影する最小平均コストで多様体値のデータ点の集合を最もよく表現する(リーマン的)アフィン部分空間を求める。
そこで我々は,(1) ユークリッドPCAと同様の等式を解くことでアフィン部分空間を推定し,(2) 異なる次元の最適アフィン部分空間をネスト集合とする,という2つの大きな利点をもたらす特定のコスト関数を提案する。
これらの性質は、ほとんどが収束が遅く、理論的な保証が弱い反復アルゴリズムである既存の方法よりも進歩する。
特に双曲型 PCA の場合、関連する等式はローレンツ空間で作用し、不定内積が与えられ、したがってローレンツ空間とユークリッド空間の等式の間の接続を確立する。
球面および双曲空間でシミュレートされたデータセット上で提案した空間形式PCAを評価し,コンバージェンス速度や精度において他の手法よりも優れていることを示す。
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