論文の概要: Principal Component Analysis in Space Forms

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.02750v2
• Date: Tue, 9 Jul 2024 19:09:28 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-11 22:39:20.979506
• Title: Principal Component Analysis in Space Forms
• Title（参考訳）: 宇宙形態の主成分分析
• Authors: Puoya Tabaghi, Michael Khanzadeh, Yusu Wang, Sivash Mirarab,
• Abstract要約: 空間形式における主成分分析(PCA)について検討する。 空間形式における与えられた点に対する最適の低次元アフィン部分空間を見つけることは次元減少に等しい。 最適アフィン部分空間は等式への解であり、(2)異なる次元の最適アフィン部分空間はネスト集合を形成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.822210329345704
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Principal Component Analysis (PCA) is a workhorse of modern data science. While PCA assumes the data conforms to Euclidean geometry, for specific data types, such as hierarchical and cyclic data structures, other spaces are more appropriate. We study PCA in space forms; that is, those with constant curvatures. At a point on a Riemannian manifold, we can define a Riemannian affine subspace based on a set of tangent vectors. Finding the optimal low-dimensional affine subspace for given points in a space form amounts to dimensionality reduction. Our Space Form PCA (SFPCA) seeks the affine subspace that best represents a set of manifold-valued points with the minimum projection cost. We propose proper cost functions that enjoy two properties: (1) their optimal affine subspace is the solution to an eigenequation, and (2) optimal affine subspaces of different dimensions form a nested set. These properties provide advances over existing methods, which are mostly iterative algorithms with slow convergence and weaker theoretical guarantees. We evaluate the proposed SFPCA on real and simulated data in spherical and hyperbolic spaces. We show that it outperforms alternative methods in estimating true subspaces (in simulated data) with respect to convergence speed or accuracy, often both.
• Abstract（参考訳）: 主成分分析(英: principal Component Analysis、PCA)は、現代のデータ科学の研究分野である。 PCAは、データがユークリッド幾何学に準拠していると仮定するが、階層データ構造や巡回データ構造のような特定のデータ型については、他の空間の方がより適切である。 我々は空間形式、すなわち一定の曲率を持つ空間でPCAを研究する。 リーマン多様体上のある点において、接ベクトルの集合に基づいてリーマンアフィン部分空間を定義することができる。 空間形式における与えられた点に対する最適の低次元アフィン部分空間を見つけることは次元減少に等しい。 我々の空間形式PCA (SFPCA) は、最小射影コストの多様体値点の集合を最もよく表すアフィン部分空間を求める。 最適アフィン部分空間は等式への解であり、(2)異なる次元の最適アフィン部分空間はネスト集合を形成する。 これらの性質は、ほとんどの場合、収束が遅く、理論的な保証が弱い反復アルゴリズムである既存の手法よりも進歩する。 球面および双曲空間における実データおよび模擬データに対して提案したSFPCAを評価する。 この手法は、収束速度や精度に関して真の部分空間(シミュレーションデータ)を推定する際の代替手法よりも優れていることを示す。

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