論文の概要: Generalization Bounds with Data-dependent Fractal Dimensions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2302.02766v1
• Date: Mon, 6 Feb 2023 13:24:48 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-02-07 16:37:10.987712
• Title: Generalization Bounds with Data-dependent Fractal Dimensions
• Title（参考訳）: データ依存フラクタル次元による一般化境界
• Authors: Benjamin Dupuis, George Deligiannidis, Umut \c{S}im\c{s}ekli
• Abstract要約: フラクタル幾何学に基づく一般化境界をリプシッツの仮定を必要とせずに証明する。 技術的な複雑さは相当に多いが、この新しい概念は一般化誤差を制御できる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.833272638548154
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Providing generalization guarantees for modern neural networks has been a crucial task in statistical learning. Recently, several studies have attempted to analyze the generalization error in such settings by using tools from fractal geometry. While these works have successfully introduced new mathematical tools to apprehend generalization, they heavily rely on a Lipschitz continuity assumption, which in general does not hold for neural networks and might make the bounds vacuous. In this work, we address this issue and prove fractal geometry-based generalization bounds without requiring any Lipschitz assumption. To achieve this goal, we build up on a classical covering argument in learning theory and introduce a data-dependent fractal dimension. Despite introducing a significant amount of technical complications, this new notion lets us control the generalization error (over either fixed or random hypothesis spaces) along with certain mutual information (MI) terms. To provide a clearer interpretation to the newly introduced MI terms, as a next step, we introduce a notion of "geometric stability" and link our bounds to the prior art. Finally, we make a rigorous connection between the proposed data-dependent dimension and topological data analysis tools, which then enables us to compute the dimension in a numerically efficient way. We support our theory with experiments conducted on various settings.
• Abstract（参考訳）: 現代のニューラルネットワークの一般化を保証することは、統計学習において重要な課題である。 近年,フラクタル幾何学のツールを用いて一般化誤差を分析する研究がいくつか行われている。 これらの研究は、一般化を理解するための新しい数学的ツールの導入に成功しているが、リプシッツ連続性仮定に大きく依存しており、一般にはニューラルネットワークを保たず、境界を空にする可能性がある。 本稿では,この問題に対処し,リプシッツ仮定を必要とせずにフラクタル幾何学に基づく一般化境界を証明する。 この目的を達成するために,学習理論における古典的な被覆論を基礎として,データ依存フラクタル次元を導入する。 この新しい概念は、膨大な技術的な複雑さを伴っても、ある相互情報(MI)用語とともに一般化誤差(固定あるいはランダムな仮説空間)を制御できる。 新たに導入されたmi用語をより明確に解釈するために、次のステップとして「幾何学的安定性」の概念を導入し、我々の境界を先行技術に結びつける。 最後に,提案したデータ依存次元とトポロジカルデータ解析ツールとの間の厳密な接続を行い,数値的に効率的に次元を計算できるようにする。 我々は様々な環境で実験を行うことで理論を支持する。

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