論文の概要: A quantum spectral method for simulating stochastic processes, with
applications to Monte Carlo
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2303.06719v1
- Date: Sun, 12 Mar 2023 17:54:38 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-14 17:19:05.635870
- Title: A quantum spectral method for simulating stochastic processes, with
applications to Monte Carlo
- Title（参考訳）: 確率過程をシミュレートするための量子スペクトル法とモンテカルロへの応用
- Authors: Adam Bouland, Aditi Dandapani and Anupam Prakash
- Abstract要約: 我々は、t時のプロセスの値を量子状態の振幅に格納する、新しいアナログのプロセスの量子表現を導入する。
ゲート複雑性を持つ量子回路を用いて、分数的なブラウン運動の時間ステップ$T$をシミュレートできることが示される。
次に、これを量子平均推定と組み合わせることで、プロセス上の特定の時間平均を$O(textpolylog(Tepsilon)で推定するエンド・ツー・エンドのアルゴリズムを作成することができることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.134846879110833
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Stochastic processes play a fundamental role in physics, mathematics,
engineering and finance. One potential application of quantum computation is to
better approximate properties of stochastic processes. For example, quantum
algorithms for Monte Carlo estimation combine a quantum simulation of a
stochastic process with amplitude estimation to improve mean estimation. In
this work we study quantum algorithms for simulating stochastic processes which
are compatible with Monte Carlo methods. We introduce a new ``analog'' quantum
representation of stochastic processes, in which the value of the process at
time t is stored in the amplitude of the quantum state, enabling an
exponentially efficient encoding of process trajectories.
We show that this representation allows for highly efficient quantum
algorithms for simulating certain stochastic processes, using spectral
properties of these processes combined with the quantum Fourier transform.
In particular, we show that we can simulate $T$ timesteps of fractional
Brownian motion using a quantum circuit with gate complexity
$\text{polylog}(T)$, which coherently prepares the superposition over Brownian
paths.
We then show this can be combined with quantum mean estimation to create end
to end algorithms for estimating certain time averages over processes in time
$O(\text{polylog}(T)\epsilon^{-c})$ where $3/2<c<2$ for certain variants of
fractional Brownian motion, whereas classical Monte Carlo runs in time
$O(T\epsilon^{-2})$ and quantum mean estimation in time $O(T\epsilon^{-1})$.
Along the way we give an efficient algorithm to coherently load a quantum
state with Gaussian amplitudes of differing variances, which may be of
independent interest.
- Abstract（参考訳）: 確率過程は物理学、数学、工学、金融において基本的な役割を果たす。
量子計算の潜在的な応用の1つは確率過程の近似特性を改善することである。
例えば、モンテカルロ推定のための量子アルゴリズムは、平均推定を改善するために確率過程の量子シミュレーションと振幅推定を組み合わせる。
本研究ではモンテカルロ法に適合する確率過程をシミュレーションする量子アルゴリズムについて検討する。
本稿では, 時間tにおけるプロセスの値を量子状態の振幅に格納し, プロセス軌跡の指数的に効率的な符号化を可能にする, 確率過程の 'analog'' 量子表現を導入する。
この表現は、量子フーリエ変換と組み合わされたこれらのプロセスのスペクトル特性を用いて、ある確率過程をシミュレートする非常に効率的な量子アルゴリズムを可能にする。
特に、ゲート複雑性$\text{polylog}(t)$を持つ量子回路を用いて分数ブラウン運動の時間ステップ$t$をシミュレートできることを示し、これはブラウン経路上の重ね合わせをコヒーレントに準備する。
すると、これを量子平均推定と組み合わせて、時間$O(\text{polylog}(T)\epsilon^{-c})$に対して3/2<c<2$ for certain variants of fractional Brownian motion, and classical Monte Carlo run in time $O(T\epsilon^{-2})$ and quantum mean estimation in time $O(T\epsilon^{-1})$とする。
その過程で、異なる分散のガウス振幅を持つ量子状態をコヒーレントにロードする効率的なアルゴリズムを与える。
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