論文の概要: Universality of graph homomorphism games and the quantum coloring
problem
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.18116v1
- Date: Mon, 29 May 2023 14:28:28 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-05-30 14:41:03.434537
- Title: Universality of graph homomorphism games and the quantum coloring
problem
- Title（参考訳）: グラフ準同型ゲームの普遍性と量子彩色問題
- Authors: Samuel J. Harris
- Abstract要約: グラフ上の$mathcalG$と$$$-coloringゲームの間の弱い$*$等価性を証明します。
ゲームのグラフについて、$X(mathcalG)$ は $mathcalG$ と同値であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We show that quantum graph parameters for finite, simple, undirected graphs
encode winning strategies for all possible synchronous non-local games. Given a
synchronous game $\mathcal{G}=(I,O,\lambda)$ with $|I|=n$ and $|O|=k$, we
demonstrate what we call a weak $*$-equivalence between $\mathcal{G}$ and a
$3$-coloring game on a graph with at most $3+n+9n(k-2)+6|\lambda^{-1}(\{0\})|$
vertices, strengthening and simplifying work implied by Z. Ji (arXiv:1310.3794)
for winning quantum strategies for synchronous non-local games. As an
application, we obtain a quantum version of L. Lov\'{a}sz's reduction (Proc.
4th SE Conf. on Comb., Graph Theory & Computing, 1973) of the $k$-coloring
problem for a graph $G$ with $n$ vertices and $m$ edges to the $3$-coloring
problem for a graph with $3+n+9n(k-2)+6mk$ vertices. We also show that, for
``graph of the game" $X(\mathcal{G})$ associated to $\mathcal{G}$ from A.
Atserias et al (J. Comb. Theory Series B, Vol. 136, 2019), the independence
number game $\text{Hom}(K_{|I|},\overline{X(\mathcal{G})})$ is hereditarily
$*$-equivalent to $\mathcal{G}$, so that the possibility of winning strategies
is the same in both games for all models, except the game algebra. Thus, the
quantum versions of the chromatic number, independence number and clique number
encode winning strategies for all synchronous games in all quantum models.
- Abstract（参考訳）: 有限、単純、無向グラフに対する量子グラフパラメータは、すべての同期非局所ゲームに対する勝利戦略を符号化する。
同期ゲーム $\mathcal{G}=(I,O,\lambda)$ with $|I|=n$ and $|O|=k$ が与えられたとき、Z. Ji (arXiv:1310.3794) による同期型非局所ゲームに対する量子戦略の勝利のために、Z. Ji (arXiv:1310.3794) が入力した作業を強化し単純化し、最大で3+n+9n(k-2)+6|\lambda^{-1}(\{0\})| のグラフ上の3ドルカラーゲームと$*$-equivalence と呼ぶものを実証する。
応用として、L. Lov\'{a}sz's reduction の量子バージョン (Comb. on 4th SE Conf. on Graph Theory & Computing, 1973) のグラフの$k$彩色問題である$G$と$n$頂点を持つ$m$エッジを、3+n+9n(k-2)+6mk$頂点を持つグラフの$3$彩色問題に適用する。
a. atserias et al (j. comb. theory series b, vol. 136, 2019) ``graph of the game" $x(\mathcal{g})$ associated to $\mathcal{g}$ from a. atserias et al (j. comb. theory series b, vol. 136, 2019) 独立数ゲーム $\text{hom}(k_{|i|},\overline{x(\mathcal{g})})$ はここでは$*$-equivalent to $\mathcal{g}$ であるので、ゲーム代数を除く全てのゲームで勝利戦略の可能性は同じである。
したがって、色数、独立数、クランク数の量子バージョンは、すべての量子モデルにおける全ての同期ゲームに対する勝利戦略をエンコードする。
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