論文の概要: A Normalized Bottleneck Distance on Persistence Diagrams and Homology Preservation under Dimension Reduction
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.06727v2
- Date: Thu, 29 Aug 2024 01:26:31 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-08-30 19:48:14.665251
- Title: A Normalized Bottleneck Distance on Persistence Diagrams and Homology Preservation under Dimension Reduction
- Title（参考訳）: 次元減少下における恒常化ボトルネック距離の持続図とホモロジー保存
- Authors: Nathan H. May, Bala Krishnamoorthy, Patrick Gambill,
- Abstract要約: パーシステンスダイアグラム(PD)は、ポイントクラウドデータのシグネチャとして使用される。
PD間のボトルネック距離d_Bを用いて2つの点の雲を比較することができる。
我々は、PD間の新しいスケール不変距離を正規化ボトルネック距離d_Nと定義し、研究する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Persistence diagrams (PDs) are used as signatures of point cloud data. Two clouds of points can be compared using the bottleneck distance d_B between their PDs. A potential drawback of this pipeline is that point clouds sampled from topologically similar manifolds can have arbitrarily large d_B when there is a large scaling between them. This situation is typical in dimension reduction frameworks. We define, and study properties of, a new scale-invariant distance between PDs termed normalized bottleneck distance, d_N. In defining d_N, we develop a broader framework called metric decomposition for comparing finite metric spaces of equal cardinality with a bijection. We utilize metric decomposition to prove a stability result for d_N by deriving an explicit bound on the distortion of the bijective map. We then study two popular dimension reduction techniques, Johnson-Lindenstrauss (JL) projections and metric multidimensional scaling (mMDS), and a third class of general biLipschitz mappings. We provide new bounds on how well these dimension reduction techniques preserve homology with respect to d_N. For a JL map f that transforms input X to f(X), we show that d_N(dgm(X),dgm(f(X))) < e, where dgm(X) is the Vietoris-Rips PD of X, and pairwise distances are preserved by f up to the tolerance 0 < \epsilon < 1. For mMDS, we present new bounds for d_B and d_N between PDs of X and its projection in terms of the eigenvalues of the covariance matrix. And for k-biLipschitz maps, we show that d_N is bounded by the product of (k^2-1)/k and the ratio of diameters of X and f(X). Finally, we use computational experiments to demonstrate the increased effectiveness of using the normalized bottleneck distance for clustering sets of point clouds sampled from different shapes.
- Abstract（参考訳）: パーシステンスダイアグラム(PD)は、ポイントクラウドデータのシグネチャとして使用される。
PD間のボトルネック距離d_Bを用いて2つの点の雲を比較することができる。
このパイプラインの潜在的な欠点は、トポロジカルに類似した多様体からサンプリングされた点雲は、その間に大きなスケーリングがあるときに任意に大きいd_Bを持つことができることである。
この状況は次元削減フレームワークで典型的である。
我々は、PD間の新しいスケール不変距離を正規化ボトルネック距離(d_N)と定義し、研究する。
d_N の定義において、等濃度の有限距離空間と単射とを比較するための計量分解と呼ばれるより広範なフレームワークを開発する。
我々は,d_N の安定度を,単射写像の歪みに明示的な境界を導出することにより,計量分解を用いて証明する。
次に、Johnson-Lindenstrauss(JL)プロジェクションとメートル法多次元スケーリング(MDS)という2つの一般的な次元削減手法と、一般的なビリプシッツ写像の第3級について研究する。
我々は、これらの次元還元技術が d_N に関してホモロジーをいかに保存するかの新しい境界を提供する。
入力 X を f(X) に変換する JL 写像 f に対し、d_N(dgm(X),dgm(f(X))) < e, ここで dgm(X) は X のヴィエトリス・リップ PD であり、対距離は f < \epsilon < 1 まで f で保存される。
mMDS に対して、X の PD とその射影の間の d_B と d_N の新たな境界を共分散行列の固有値の観点から提示する。
また、k-biLipschitz写像に対して、d_N は (k^2-1)/k の積と X と f(X) の直径の比で有界であることを示す。
最後に, 異なる形状から採取した点雲のクラスタリング集合に対して, 正規化ボトルネック距離を用いた計算実験を行った。
関連論文リスト
- Dimension reduction and the gradient flow of relative entropy [0.0]
次元減少は科学で広く用いられ、高次元データを低次元空間にマッピングする。
本研究では,近傍埋め込み(SNE)技術の基礎となる基本的な数学的モデルと,その一般的な変種であるt-SNEについて検討する。
目的は、これらの点を最適な方法で低次元にマッピングし、類似点がより近いようにすることである。
論文 参考訳（メタデータ） (2024-09-25T14:23:04Z) - Learning with Norm Constrained, Over-parameterized, Two-layer Neural Networks [54.177130905659155]
近年の研究では、再生カーネルヒルベルト空間(RKHS)がニューラルネットワークによる関数のモデル化に適した空間ではないことが示されている。
本稿では,有界ノルムを持つオーバーパラメータ化された2層ニューラルネットワークに適した関数空間について検討する。
論文 参考訳（メタデータ） (2024-04-29T15:04:07Z) - Scaling Riemannian Diffusion Models [68.52820280448991]
非自明な多様体上の高次元タスクにスケールできることを示す。
我々は、$SU(n)$格子上のQCD密度と高次元超球面上の対照的に学習された埋め込みをモデル化する。
論文 参考訳（メタデータ） (2023-10-30T21:27:53Z) - Nearly $d$-Linear Convergence Bounds for Diffusion Models via Stochastic
Localization [40.808942894229325]
データ次元において線形である第1収束境界を提供する。
拡散モデルは任意の分布を近似するために少なくとも$tilde O(fracd log2(1/delta)varepsilon2)$ stepsを必要とすることを示す。
論文 参考訳（メタデータ） (2023-08-07T16:01:14Z) - Pseudonorm Approachability and Applications to Regret Minimization [73.54127663296906]
我々は、高次元 $ell_infty$-approachability 問題を、低次元の擬ノルムアプローチ可能性問題に変換する。
我々は、$ell$や他のノルムに対するアプローチ可能性に関する以前の研究に類似した疑似ノルムアプローチ可能性のアルゴリズム理論を開発する。
論文 参考訳（メタデータ） (2023-02-03T03:19:14Z) - Bayesian Hyperbolic Multidimensional Scaling [2.5944208050492183]
低次元多様体が双曲型であるとき、多次元スケーリングに対するベイズ的アプローチを提案する。
ケース制御可能性近似は、より大きなデータ設定における後部分布からの効率的なサンプリングを可能にする。
提案手法は,シミュレーション,標準基準データセット,インディアン村のネットワークデータ,およびヒトの遺伝子発現データを用いて,最先端の代替手法に対して評価する。
論文 参考訳（メタデータ） (2022-10-26T23:34:30Z) - Generalization Bounds for Stochastic Gradient Descent via Localized
$\varepsilon$-Covers [16.618918548497223]
本稿では,SGDの軌道に局在する新しい被覆手法を提案する。
このローカライゼーションは、境界数によって測定されるアルゴリズム固有のクラスタリングを提供する。
これらの結果は様々な文脈で導き出され、既知の最先端のラベルレートが向上する。
論文 参考訳（メタデータ） (2022-09-19T12:11:07Z) - High-dimensional limit theorems for SGD: Effective dynamics and critical
scaling [6.950316788263433]
我々は、勾配降下(SGD)の要約統計の軌跡に対する極限定理を証明する。
下記の有効弾道力学が人口減少の勾配流と一致するステップサイズにおける重要なスケーリング体制を示す。
この実効力学の固定点について、対応する拡散極限は極めて複雑であり、さらに退化することもある。
論文 参考訳（メタデータ） (2022-06-08T17:42:18Z) - Scaling Structured Inference with Randomization [64.18063627155128]
本稿では、構造化されたモデルを数万の潜在状態に拡張するためにランダム化された動的プログラミング(RDP)のファミリを提案する。
我々の手法は古典的DPベースの推論に広く適用できる。
また、自動微分とも互換性があり、ニューラルネットワークとシームレスに統合できる。
論文 参考訳（メタデータ） (2021-12-07T11:26:41Z) - Manifold Hypothesis in Data Analysis: Double Geometrically-Probabilistic
Approach to Manifold Dimension Estimation [92.81218653234669]
本稿では, 多様体仮説の検証と基礎となる多様体次元推定に対する新しいアプローチを提案する。
我々の幾何学的手法はミンコフスキー次元計算のためのよく知られたボックスカウントアルゴリズムのスパースデータの修正である。
実データセットの実験では、2つの手法の組み合わせに基づく提案されたアプローチが強力で効果的であることが示されている。
論文 参考訳（メタデータ） (2021-07-08T15:35:54Z) - Spatially relaxed inference on high-dimensional linear models [48.989769153211995]
本研究では,空間的に制約されたクラスタリング,統計的推論,アンサンブルを組み合わせ,複数のクラスタリング推論解を集約するアンサンブルクラスタリング推論アルゴリズムの特性について検討する。
アンサンブルクラスタ推論アルゴリズムは,最大クラスター径に等しい$delta$-FWERの標準仮定で$delta$-FWERを制御することを示す。
論文 参考訳（メタデータ） (2021-06-04T16:37:19Z)
関連論文リストは本サイト内にある論文のタイトル・アブストラクトから自動的に作成しています。
指定された論文の情報です。
本サイトの運営者は本サイト（すべての情報・翻訳含む）の品質を保証せず、本サイト（すべての情報・翻訳含む）を使用して発生したあらゆる結果について一切の責任を負いません。