論文の概要: The Rank-Reduced Kalman Filter: Approximate Dynamical-Low-Rank Filtering
In High Dimensions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.07774v2
- Date: Wed, 28 Jun 2023 18:03:06 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-06-30 16:24:03.242383
- Title: The Rank-Reduced Kalman Filter: Approximate Dynamical-Low-Rank Filtering
In High Dimensions
- Title（参考訳）: ランク縮小カルマンフィルタ : 高次元における近似動的低ランクフィルタリング
- Authors: Jonathan Schmidt, Philipp Hennig, J\"org Nick, Filip Tronarp
- Abstract要約: 低ランク行列の低ランク近似を伝播する新しい近似フィルタリング・平滑化法を提案する。
提案手法は, 計算複雑性を(カルマンフィルタの場合) 立方体から, 最悪ケースにおける状態空間サイズにおけるエンフクトラティックに還元する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 27.37550904409881
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Inference and simulation in the context of high-dimensional dynamical systems
remain computationally challenging problems. Some form of dimensionality
reduction is required to make the problem tractable in general. In this paper,
we propose a novel approximate Gaussian filtering and smoothing method which
propagates low-rank approximations of the covariance matrices. This is
accomplished by projecting the Lyapunov equations associated with the
prediction step to a manifold of low-rank matrices, which are then solved by a
recently developed, numerically stable, dynamical low-rank integrator.
Meanwhile, the update steps are made tractable by noting that the covariance
update only transforms the column space of the covariance matrix, which is
low-rank by construction. The algorithm differentiates itself from existing
ensemble-based approaches in that the low-rank approximations of the covariance
matrices are deterministic, rather than stochastic. Crucially, this enables the
method to reproduce the exact Kalman filter as the low-rank dimension
approaches the true dimensionality of the problem. Our method reduces
computational complexity from cubic (for the Kalman filter) to \emph{quadratic}
in the state-space size in the worst-case, and can achieve \emph{linear}
complexity if the state-space model satisfies certain criteria. Through a set
of experiments in classical data-assimilation and spatio-temporal regression,
we show that the proposed method consistently outperforms the ensemble-based
methods in terms of error in the mean and covariance with respect to the exact
Kalman filter. This comes at no additional cost in terms of asymptotic
computational complexity.
- Abstract（参考訳）: 高次元力学系の文脈における推論とシミュレーションは、計算的に難しい問題のままである。
いくつかの次元還元は、問題を一般に引き出すのに必要である。
本稿では,共分散行列の低ランク近似を伝播する新しい近似ガウスフィルタ・平滑化法を提案する。
これは、予測ステップに関連するリアプノフ方程式を低ランク行列の多様体に投影し、最近開発された数値的に安定な動的低ランク積分器によって解かれる。
一方、共分散更新は共分散行列の列空間のみを変換し、構成によりランクが低いことを指摘して、更新ステップを扱いやすくする。
このアルゴリズムは、共分散行列の低ランク近似が確率的ではなく決定論的であるという点において、既存のアンサンブルに基づくアプローチと差別化する。
これにより、低ランク次元が問題の真の次元に近づくにつれて、正確なカルマンフィルタを再現することができる。
本手法は,(カルマンフィルタの場合)立方体から最悪の場合の状態空間サイズにおける \emph{quadratic} までの計算複雑性を低減し,状態空間モデルが一定の条件を満たす場合に \emph{linear} の複雑性を実現する。
古典的データ同化と時空間回帰の一連の実験を通じて,提案手法は平均誤差と正確なカルマンフィルタに対する共変性の観点から,アンサンブルに基づく手法を一貫して上回っていることを示す。
これは漸近的な計算の複雑さに関して追加のコストを伴わない。
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