論文の概要: Addressing Discontinuous Root-Finding for Subsequent Differentiability
in Machine Learning, Inverse Problems, and Control
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.12413v1
- Date: Wed, 21 Jun 2023 17:51:32 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-06-22 12:28:56.129336
- Title: Addressing Discontinuous Root-Finding for Subsequent Differentiability
in Machine Learning, Inverse Problems, and Control
- Title（参考訳）: 機械学習, 逆問題, 制御におけるその後の微分可能性に対する不連続ルートフィンディングの対応
- Authors: Daniel Johnson, Ronald Fedkiw
- Abstract要約: 本論文は,2つの剛体・変形体間の衝突の特定の事例を動機としたものである。
衝突時間のパラメータに対する微分は、衝突しない障壁に近づくと無限となることを示す。
デリバティブによって引き起こされる障壁を動員し、標準的な数値的アプローチの活用を容易にし、スムーズで信頼性の高い方法でトンネルを行き来できるようにします。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.610530869913159
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: There are many physical processes that have inherent discontinuities in their
mathematical formulations. This paper is motivated by the specific case of
collisions between two rigid or deformable bodies and the intrinsic nature of
that discontinuity. The impulse response to a collision is discontinuous with
the lack of any response when no collision occurs, which causes difficulties
for numerical approaches that require differentiability which are typical in
machine learning, inverse problems, and control. We theoretically and
numerically demonstrate that the derivative of the collision time with respect
to the parameters becomes infinite as one approaches the barrier separating
colliding from not colliding, and use lifting to complexify the solution space
so that solutions on the other side of the barrier are directly attainable as
precise values. Subsequently, we mollify the barrier posed by the unbounded
derivatives, so that one can tunnel back and forth in a smooth and reliable
fashion facilitating the use of standard numerical approaches. Moreover, we
illustrate that standard approaches fail in numerous ways mostly due to a lack
of understanding of the mathematical nature of the problem (e.g. typical
backpropagation utilizes many rules of differentiation, but ignores L'Hopital's
rule).
- Abstract（参考訳）: 数学的定式化に固有の不連続性を持つ物理過程は多数存在する。
本論文は,2つの剛性体と変形性体の衝突事例と,その不連続性の本質的性質に動機付けられる。
衝突に対するインパルス応答は、衝突が起こらない場合の応答の欠如によって不連続であり、機械学習や逆問題、制御に典型的な微分可能性を必要とする数値的アプローチでは困難を引き起こす。
理論上, 数値的には, 衝突時間のパラメータに関する微分は, 衝突から分離する障壁に近づくと無限となることを証明し, リフトを用いて解空間を複雑化し, 障壁の反対側の解が正確な値として直接到達できるようにした。
続いて,非有界導関数が与える障壁をモーリゼーションし,標準数値的手法を応用し,滑らかで信頼性の高い方法でトンネルを往復できるようにした。
さらに、標準的なアプローチは、主に問題の数学的性質の理解の欠如(例えば、典型的なバックプロパゲーションは多くの微分規則を利用するが、L'Hopitalの規則を無視する)により、多くの方法で失敗することを示す。
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