論文の概要: Fitting an ellipsoid to a quadratic number of random points

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.01181v2
• Date: Wed, 02 Oct 2024 15:13:40 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-03 15:17:39.839038
• Title: Fitting an ellipsoid to a quadratic number of random points
• Title（参考訳）: 楕円体をランダム点の2次数に適合させる
• Authors: Afonso S. Bandeira, Antoine Maillard, Shahar Mendelson, Elliot Paquette,
• Abstract要約: 問題 $(mathrmP)$ が $n$ の標準ガウス確率ベクトルを $mathbbRd$ で中心楕円体の境界に収まることを $n, d to infty$ とみなす。 任意の$varepsilon > 0$ に対して、$n leq (1 - varepsilon) d2 / 4$ ならば、$(mathrmP)$ は高い確率の解を持つ。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.208117253395342
• License:
• Abstract: We consider the problem $(\mathrm{P})$ of fitting $n$ standard Gaussian random vectors in $\mathbb{R}^d$ to the boundary of a centered ellipsoid, as $n, d \to \infty$. This problem is conjectured to have a sharp feasibility transition: for any $\varepsilon > 0$, if $n \leq (1 - \varepsilon) d^2 / 4$ then $(\mathrm{P})$ has a solution with high probability, while $(\mathrm{P})$ has no solutions with high probability if $n \geq (1 + \varepsilon) d^2 /4$. So far, only a trivial bound $n \geq d^2 / 2$ is known on the negative side, while the best results on the positive side assume $n \leq d^2 / \mathrm{polylog}(d)$. In this work, we improve over previous approaches using a key result of Bartl & Mendelson (2022) on the concentration of Gram matrices of random vectors under mild assumptions on their tail behavior. This allows us to give a simple proof that $(\mathrm{P})$ is feasible with high probability when $n \leq d^2 / C$, for a (possibly large) constant $C > 0$.
• Abstract（参考訳）: 問題 $(\mathrm{P})$ は、中心楕円体の境界に対して$\mathbb{R}^d$ の標準ガウス確率ベクトルを $n, d \to \infty$ とする。 任意の$\varepsilon > 0$ に対して、$n \leq (1 - \varepsilon) d^2 / 4$ ならば、$(\mathrm{P})$ は高い確率の解を持ち、$(\mathrm{P})$ は $n \geq (1 + \varepsilon) d^2 / 4$ である。 これまでのところ、負側は自明な有界な$n \geq d^2 / 2$しか知られておらず、正側は$n \leq d^2 / \mathrm{polylog}(d)$と仮定する。 本研究では,バートル・アンド・メンデルソン (2022) による従来の手法よりも,確率ベクトルのグラム行列の濃度を,その尾の挙動を軽度に仮定して改善する。 これにより、$(\mathrm{P})$ が (おそらく大きい)定数 $C > 0$ に対して $n \leq d^2 / C$ が高確率で実現可能であるという簡単な証明を与えることができる。

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