論文の概要: Fast and Practical Quantum-Inspired Classical Algorithms for Solving Linear Systems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.06627v1
• Date: Thu, 13 Jul 2023 08:46:19 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-07-14 15:32:08.134128
• Title: Fast and Practical Quantum-Inspired Classical Algorithms for Solving Linear Systems
• Title（参考訳）: 線形系を解くための高速かつ実用的な量子インスパイアされた古典アルゴリズム
• Authors: Qian Zuo and Tongyang Li
• Abstract要約: 線形系を解くための高速で実用的な量子インスパイアされた古典的アルゴリズムを提案する。 我々の主な貢献は、線形系を解くために量子に着想を得た古典的アルゴリズムへの重球運動量法の適用である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.147652597876862
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We propose fast and practical quantum-inspired classical algorithms for solving linear systems. Specifically, given sampling and query access to a matrix $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ and a vector $b\in\mathbb{R}^m$, we propose classical algorithms that produce a data structure for the solution $x\in\mathbb{R}^{n}$ of the linear system $Ax=b$ with the ability to sample and query its entries. The resulting $x$ satisfies $\|x-A^{+}b\|\leq\epsilon\|A^{+}b\|$, where $\|\cdot\|$ is the spectral norm and $A^+$ is the Moore-Penrose inverse of $A$. Our algorithm has time complexity $\widetilde{O}(\kappa_F^4/\kappa\epsilon^2)$ in the general case, where $\kappa_{F} =\|A\|_F\|A^+\|$ and $\kappa=\|A\|\|A^+\|$ are condition numbers. Compared to the prior state-of-the-art result [Shao and Montanaro, arXiv:2103.10309v2], our algorithm achieves a polynomial speedup in condition numbers. When $A$ is $s$-sparse, our algorithm has complexity $\widetilde{O}(s \kappa\log(1/\epsilon))$, matching the quantum lower bound for solving linear systems in $\kappa$ and $1/\epsilon$ up to poly-logarithmic factors [Harrow and Kothari]. When $A$ is $s$-sparse and symmetric positive-definite, our algorithm has complexity $\widetilde{O}(s\sqrt{\kappa}\log(1/\epsilon))$. Technically, our main contribution is the application of the heavy ball momentum method to quantum-inspired classical algorithms for solving linear systems, where we propose two new methods with speedups: quantum-inspired Kaczmarz method with momentum and quantum-inspired coordinate descent method with momentum. Their analysis exploits careful decomposition of the momentum transition matrix and the application of novel spectral norm concentration bounds for independent random matrices. Finally, we also conduct numerical experiments for our algorithms on both synthetic and real-world datasets, and the experimental results support our theoretical claims.
• Abstract（参考訳）: 線形系を解くための高速で実用的な量子インスピレーション付き古典アルゴリズムを提案する。 具体的には、行列 $a\in\mathbb{r}^{m\times n}$ とベクトル $b\in\mathbb{r}^m$ に対するサンプリングとクエリアクセスを与えられたとき、線形系の $x\in\mathbb{r}^{n}$ の解に対してデータ構造を生成する古典的なアルゴリズムを提案し、そのエントリをサンプリングしてクエリすることができる。 x$ は $\|x-A^{+}b\|\leq\epsilon\|A^{+}b\|$ を満たすが、$\|\cdot\|$ はスペクトルノルムであり、$A^+$ は$A$ のムーア=ペンローズ逆である。 我々のアルゴリズムは時間複雑性$\widetilde{O}(\kappa_F^4/\kappa\epsilon^2)$で、$\kappa_{F} =\|A\|_F\|A^+\|$と$\kappa=\|A\|\|A^+\|$は条件数である。 shao and montanaro, arxiv:2103.10309v2] の以前の結果と比較すると, このアルゴリズムは条件数で多項式の高速化を実現する。 a$ が $s$-sparse の場合、アルゴリズムは$\widetilde{o}(s \kappa\log(1/\epsilon))$ を持ち、$\kappa$ と $1/\epsilon$ の線形系を解くための量子下限を多対数因子 [harrow と kothari] に一致させる。 a$ が $s$-sparse で対称な正定値であれば、アルゴリズムは$\widetilde{o}(s\sqrt{\kappa}\log(1/\epsilon))$ を持つ。 技術的には、重粒子運動量法を線形系を解くために量子インスパイアされた古典的アルゴリズムに適用し、運動量を持つ量子インスパイアされたカッツマルツ法と運動量を持つ量子インスパイアされた座標降下法という2つの新しい手法を提案する。 これらの解析は運動量遷移行列の注意深く分解し、新しいスペクトルノルム濃度境界を独立なランダム行列に適用する。 最後に, 合成および実世界の両方のデータセット上で, アルゴリズムの数値実験を行い, 実験結果から理論的主張を裏付ける。

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