論文の概要: Fast Convex Optimization with Quantum Gradient Methods

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.17356v1
• Date: Fri, 21 Mar 2025 17:58:12 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-24 14:56:14.884672
• Title: Fast Convex Optimization with Quantum Gradient Methods
• Title（参考訳）: 量子勾配法による高速凸最適化
• Authors: Brandon Augustino, Dylan Herman, Enrico Fontana, Junhyung Lyle Kim, Jacob Watkins, Shouvanik Chakrabarti, Marco Pistoia,
• Abstract要約: 雑音評価オラクルを用いた量子(サブ)次次推定に基づく量子アルゴリズムについて検討する。 古典的勾配勾配の1次クエリ複雑度は,雑音評価オラクルのみを用いて一致した。 我々は、これらのアルゴリズムをユークリッド以外の設定で動作させるように一般化する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.5094874597551913
• License:
• Abstract: We study quantum algorithms based on quantum (sub)gradient estimation using noisy evaluation oracles, and demonstrate the first dimension independent query complexities (up to poly-logarithmic factors) for zeroth-order convex optimization in both smooth and nonsmooth settings. We match the first-order query complexities of classical gradient descent, using only noisy evaluation oracles, thereby exhibiting exponential separation between quantum and classical zeroth-order optimization. Specifically, for the smooth case, zeroth-order quantum gradient descent achieves $\widetilde{\mathcal{O}}(LR^2/\varepsilon)$ and $\widetilde{\mathcal{O}} \left( \kappa \log(1/\varepsilon \right))$ query complexities, for the convex and strongly convex case respectively; for the nonsmooth case, the zeroth-order quantum subgradient method attains a query complexity of $\widetilde{\mathcal{O}}((GR/\varepsilon)^2 )$. We then generalize these algorithms to work in non-Euclidean settings by using quantum (sub)gradient estimation to instantiate mirror descent, dual averaging and mirror prox. We demonstrate how our algorithm for nonsmooth optimization can be applied to solve an SDP involving $m$ constraints and $n \times n$ matrices to additive error $\varepsilon$ using $\widetilde{\mathcal{O}} ((mn^2+n^{\omega})(Rr/\varepsilon)^2)$ gates, where $\omega \in [2,2.38)$ is the exponent of matrix-multiplication time and $R$ and $r$ are bounds on the primal and dual optimal solutions, respectively. Specializing to linear programs, we obtain a quantum LP solver with complexity $ \widetilde{\mathcal{O}}((m+\sqrt{n}) (Rr/\varepsilon)^2).$ For zero-sum games we achieve the best quantum runtimes for any $\varepsilon > 0$ when $m = \mathcal{O}(\sqrt{n})$. We obtain the best algorithm overall (quantum or classical) whenever we further impose $\varepsilon=\Omega((m+n)^{-1/4})$.
• Abstract（参考訳）: 雑音評価オラクルを用いた量子(サブ)勾配推定に基づく量子アルゴリズムについて検討し、滑らかかつ非滑らかな設定でゼロ階凸最適化のための1次元独立なクエリ複雑度(多対数因子まで)を実証する。 古典的勾配勾配の1次クエリ複雑度をノイズ評価オラクルのみを用いてマッチングし、量子と古典的ゼロ階最適化の指数関数的分離を示す。 具体的には、滑らかな場合において、ゼロ階量子勾配勾配は$\widetilde{\mathcal{O}}(LR^2/\varepsilon)$および$\widetilde{\mathcal{O}} \left( \kappa \log(1/\varepsilon \right))$クエリ複雑さをそれぞれ、凸と強凸のそれぞれに対して達成する。 次に、量子(サブ)勾配推定を用いて、これらのアルゴリズムを非ユークリッド環境での動作に一般化し、ミラー降下、双対平均化、ミラープロキシをインスタンス化する。 我々は、m$制約を含むSDPと$n \times n$行列を加算誤差に$\varepsilon$ using $\widetilde{\mathcal{O}} ((mn^2+n^{\omega})(Rr/\varepsilon)^2)$ gates, where $\omega \in [2,2.38)$は行列乗算時間の指数であり、$R$と$r$はそれぞれ原始最適解と双対最適解に有界であることを示す。 線形プログラムに特化して、複雑性 $ \widetilde{\mathcal{O}}((m+\sqrt{n}) (Rr/\varepsilon)^2) を持つ量子LPソルバを得る。 ゼロサムゲームに対しては、$m = \mathcal{O}(\sqrt{n})$ が任意の$\varepsilon > 0$に対して最高の量子ランタイムを達成する。 さらに$\varepsilon=\Omega((m+n)^{-1/4})$を課すと、全体的なアルゴリズム(量子または古典)を得る。

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