論文の概要: Path convergence of Markov chains on large graphs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2308.09214v1
- Date: Fri, 18 Aug 2023 00:13:59 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-08-21 15:16:56.626993
- Title: Path convergence of Markov chains on large graphs
- Title（参考訳）: 大きなグラフ上のマルコフ連鎖の経路収束
- Authors: Siva Athreya, Soumik Pal, Raghav Somani, Raghavendra Tripathi
- Abstract要約: 有限ラベル付きグラフ上の自然過程のクラスを2つ検討する。
グラフのサイズが無限大になるにつれて、プロセスのランダムな軌跡は決定論的極限に収束することを示す。
これらの極限は測度値グラフンの空間上の曲線である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.693375843298262
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We consider two classes of natural stochastic processes on finite unlabeled
graphs. These are Euclidean stochastic optimization algorithms on the adjacency
matrix of weighted graphs and a modified version of the Metropolis MCMC
algorithm on stochastic block models over unweighted graphs. In both cases we
show that, as the size of the graph goes to infinity, the random trajectories
of the stochastic processes converge to deterministic limits. These
deterministic limits are curves on the space of measure-valued graphons.
Measure-valued graphons, introduced by Lov\'{a}sz and Szegedy, are a refinement
of the concept of graphons that can distinguish between two infinite
exchangeable arrays that give rise to the same graphon limit. We introduce new
metrics on this space which provide us with a natural notion of convergence for
our limit theorems. This notion is equivalent to the convergence of
infinite-exchangeable arrays. Under a suitable time-scaling, the Metropolis
chain admits a diffusion limit as the number of vertices go to infinity. We
then demonstrate that, in an appropriately formulated zero-noise limit, the
stochastic process of adjacency matrices of this diffusion converge to a
deterministic gradient flow curve on the space of graphons introduced in
arXiv:2111.09459 [math.PR]. Under suitable assumptions, this allows us to
estimate an exponential convergence rate for the Metropolis chain in a certain
limiting regime. To the best of our knowledge, both the actual rate and the
connection between a natural Metropolis chain commonly used in exponential
random graph models and gradient flows on graphons are new in the literature.
- Abstract（参考訳）: 有限非ラベルグラフ上の自然確率過程の2つのクラスを考える。
これらは重み付きグラフの隣接行列上のユークリッド確率最適化アルゴリズムと、重み付きグラフ上の確率ブロックモデル上のメトロポリスMCMCアルゴリズムの修正版である。
どちらの場合も、グラフのサイズが無限大になるにつれて、確率過程のランダムな軌跡が決定論的極限に収束することを示す。
これらの決定論的極限は測度値グラフの空間上の曲線である。
lov\'{a}sz と szegedy によって導入された測度値グラフは、同じグラフェン極限をもたらす2つの無限交換可能な配列を区別できるグラフェンの概念の洗練である。
我々はこの空間の新しいメトリクスを導入し、極限定理に対する収束の自然な概念を提供する。
この概念は無限交換可能配列の収束と同値である。
適切な時間スケーリングの下で、メトロポリス連鎖は、頂点の数が無限大になるにつれて拡散限界を認める。
次に、適切に定式化されたゼロノイズ極限において、この拡散の隣接行列の確率過程が、arXiv:2111.09459[math.PR]で導入されたグラフの空間上の決定論的勾配流曲線に収束することを示した。
適切な仮定の下では、ある極限状態におけるメトロポリス連鎖の指数収束率を推定することができる。
我々の知る限りでは、指数的ランダムグラフモデルでよく使われる自然のメトロポリス・チェーンとグラフェン上の勾配流の間の実際の速度と接続は、文献において新しいものである。
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