論文の概要: Posterior Contraction Rates for Mat\'ern Gaussian Processes on Riemannian Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.10918v3
• Date: Sun, 29 Oct 2023 04:46:50 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-10-31 20:15:31.198058
• Title: Posterior Contraction Rates for Mat\'ern Gaussian Processes on Riemannian Manifolds
• Title（参考訳）: リーマン多様体上のMat\'ern Gaussian過程の後方収縮速度
• Authors: Paul Rosa and Viacheslav Borovitskiy and Alexander Terenin and Judith Rousseau
• Abstract要約: 我々は,本質的なガウス過程が実際により優れた性能を発揮することを示す。 我々の研究は、データ効率の異なるレベルを区別するために、よりきめ細かい分析が必要であることを示している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 51.68005047958965
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Gaussian processes are used in many machine learning applications that rely on uncertainty quantification. Recently, computational tools for working with these models in geometric settings, such as when inputs lie on a Riemannian manifold, have been developed. This raises the question: can these intrinsic models be shown theoretically to lead to better performance, compared to simply embedding all relevant quantities into $\mathbb{R}^d$ and using the restriction of an ordinary Euclidean Gaussian process? To study this, we prove optimal contraction rates for intrinsic Mat\'ern Gaussian processes defined on compact Riemannian manifolds. We also prove analogous rates for extrinsic processes using trace and extension theorems between manifold and ambient Sobolev spaces: somewhat surprisingly, the rates obtained turn out to coincide with those of the intrinsic processes, provided that their smoothness parameters are matched appropriately. We illustrate these rates empirically on a number of examples, which, mirroring prior work, show that intrinsic processes can achieve better performance in practice. Therefore, our work shows that finer-grained analyses are needed to distinguish between different levels of data-efficiency of geometric Gaussian processes, particularly in settings which involve small data set sizes and non-asymptotic behavior.
• Abstract（参考訳）: ガウス過程は不確実性定量化に依存する多くの機械学習アプリケーションで使われている。 近年、リーマン多様体上の入力のような幾何学的設定でこれらのモデルを扱うための計算ツールが開発されている。 これらの内在的なモデルは、単にすべての関連する量を$\mathbb{r}^d$に埋め込み、通常のユークリッドガウス過程の制限を用いるよりも、理論的により良いパフォーマンスをもたらすことができるか? これを調べるために、コンパクトリーマン多様体上で定義される内在的マト・エルン・ガウス過程の最適収縮率を証明できる。 また、多様体と周囲のソボレフ空間の間のトレースおよび拡張定理を用いて、外部過程の類似の速度を証明した: 幾分驚くべきことに、それらの滑らかさパラメータが適切に一致していることから、本質的過程のそれと一致することが判明した。 先行研究の反映として,本質的プロセスが実際によりよいパフォーマンスを達成できることを示す,いくつかの例を実証的に示す。 そこで本研究では,幾何学的ガウス過程の異なるレベルのデータ効率を,特に小さなデータセットのサイズと非漸近的振る舞いを含む設定で区別するために,よりきめ細かい解析が必要であることを示す。

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