論文の概要: On the Counting of Involutory MDS Matrices
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.00090v3
- Date: Tue, 01 Oct 2024 06:08:45 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-02 16:31:24.155510
- Title: On the Counting of Involutory MDS Matrices
- Title（参考訳）: インボリュートリーMDS行列の計数について
- Authors: Susanta Samanta,
- Abstract要約: 本稿では、アダマール MDS およびインボリュートリー アダマール MDS 行列を、フィールド$mathbbF_2r$ で 4$ で列挙する。
また、アダマール-MDS (NMDS) とインボリュートリーのアダマール NMDS 行列は各行にちょうど1つの零点を持ち、それぞれ 4$$$mathbbF_2r$ である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License:
- Abstract: The optimal branch number of MDS matrices has established their importance in designing diffusion layers for various block ciphers and hash functions. As a result, numerous matrix structures, including Hadamard and circulant matrices, have been proposed for constructing MDS matrices. Also, in the literature, significant attention is typically given to identifying MDS candidates with optimal implementations or proposing new constructions across different orders. However, this paper takes a different approach by not emphasizing efficiency issues or introducing new constructions. Instead, its primary objective is to enumerate Hadamard MDS and involutory Hadamard MDS matrices of order $4$ within the field $\mathbb{F}_{2^r}$. Specifically, it provides an explicit formula for the count of both Hadamard MDS and involutory Hadamard MDS matrices of order $4$ over $\mathbb{F}_{2^r}$. Additionally, it derives the count of Hadamard Near-MDS (NMDS) and involutory Hadamard NMDS matrices, each with exactly one zero in each row, of order $4$ over $\mathbb{F}_{2^r}$. Furthermore, the paper discusses some circulant-like matrices for constructing NMDS matrices and proves that when $n$ is even, any $2n \times 2n$ Type-II circulant-like matrix can never be an NMDS matrix. While it is known that NMDS matrices may be singular, this paper establishes that singular Hadamard matrices can never be NMDS matrices. Moreover, it proves that there exist exactly two orthogonal Type-I circulant-like matrices of order $4$ over $\mathbb{F}_{2^r}$.
- Abstract（参考訳）: MDS行列の最適分岐数は、様々なブロック暗号とハッシュ関数の拡散層を設計することの重要性を確立している。
その結果、アダマール行列や循環行列を含む多くの行列構造がMDS行列の構築のために提案されている。
また、文献では、MDS候補を最適な実装で特定したり、異なる順序で新しい構成を提案するのが一般的である。
しかし,本論文では,効率問題を強調せず,新たな構成を導入することで,異なるアプローチを採っている。
その代わりに、その主な目的は、アダマール MDS およびインボリュートリー アダマール MDS 行列を体 $\mathbb{F}_{2^r}$ の中で階数 4$ で列挙することである。
具体的には、アダマール MDS とインボリュートリー アダマール MDS の両方の行列を 4$ over $\mathbb{F}_{2^r}$ で表す明示的な公式を提供する。
さらに、Adamard Near-MDS (NMDS) と Involutory Adamard NMDS の行列は各行にちょうど1つの零点を持ち、それぞれ 4$ over $\mathbb{F}_{2^r}$ である。
さらに、NMDS行列を構成するためのサーキュラント様行列について論じ、n$が偶数であるとき、任意の2n \times 2n$ Type-II サーキュラント様行列がNMDS行列にはならないことを証明した。
NMDS行列は特異であることが知られているが、本論文は特異なアダマール行列がNMDS行列ではないことを証明している。
さらに、直交の Type-I 循環行列が 4$ over $\mathbb{F}_{2^r}$ であることを示す。
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