論文の概要: Wasserstein approximation schemes based on Voronoi partitions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.09149v2
- Date: Thu, 25 Jul 2024 17:05:37 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-07-26 19:56:25.671809
- Title: Wasserstein approximation schemes based on Voronoi partitions
- Title（参考訳）: ボロノイ分割に基づくワッサーシュタイン近似スキーム
- Authors: Keaton Hamm, Varun Khurana,
- Abstract要約: ワッサーシュタイン空間 $mathrmW_p(mathbbRd)$ for $pin[1,infty)$ における測度の構造化近似を考える。
フルランク格子 $Lambda$ が $hin(0,1]$ の係数でスケールされると、$hLambda$ の Voronoi 分割に基づく測度の近似は $d$ や $p$ に関わらず$O(h)$ となる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.682599466504124
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We consider structured approximation of measures in Wasserstein space $\mathrm{W}_p(\mathbb{R}^d)$ for $p\in[1,\infty)$ using general measure approximants compactly supported on Voronoi regions derived from a scaled Voronoi partition of $\mathbb{R}^d$. We show that if a full rank lattice $\Lambda$ is scaled by a factor of $h\in(0,1]$, then approximation of a measure based on the Voronoi partition of $h\Lambda$ is $O(h)$ regardless of $d$ or $p$. We then use a covering argument to show that $N$-term approximations of compactly supported measures is $O(N^{-\frac1d})$ which matches known rates for optimal quantizers and empirical measure approximation in most instances. Additionally, we generalize our construction to nonuniform Voronoi partitions, highlighting the flexibility and robustness of our approach for various measure approximation scenarios. Finally, we extend these results to noncompactly supported measures with sufficient decay. Our findings are pertinent to applications in computer vision and machine learning where measures are used to represent structured data such as images.
- Abstract（参考訳）: ワッサーシュタイン空間 $\mathrm{W}_p(\mathbb{R}^d)$ for $p\in[1,\infty)$ における測度の構造化近似を考える。
フルランク格子 $\Lambda$ が $h\in(0,1]$ の係数でスケールされると、$h\Lambda$ の Voronoi 分割に基づく測度の近似は $d$ や $p$ に関わらず$O(h)$ となる。
次に、コンパクトに支持された測度に対する$N$の長期近似が$O(N^{-\frac1d})$であることを示し、ほとんどの場合、最適量化器の既知の速度と経験的測度近似とを一致させる。
さらに,この構成を不均一なボロノイ分割に一般化し,様々な測度近似シナリオに対するアプローチの柔軟性と堅牢性を強調した。
最後に、これらの結果を十分な減衰を伴う非コンパクトな対応尺度に拡張する。
我々の発見は、画像などの構造化データを表現するために、コンピュータビジョンや機械学習の応用に関係している。
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