論文の概要: Statistical Barriers to Affine-equivariant Estimation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.10758v1
• Date: Mon, 16 Oct 2023 18:42:00 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-10-18 19:16:46.146675
• Title: Statistical Barriers to Affine-equivariant Estimation
• Title（参考訳）: アフィン同変推定に対する統計的障壁
• Authors: Zihao Chen, Yeshwanth Cherapanamjeri
• Abstract要約: 本研究では,ロバスト平均推定のためのアフィン同変推定器の定量的性能について検討する。 古典的推定器は定量的に準最適であるか、あるいは量的保証が欠如していることが分かる。 我々は、下界にほぼ一致する新しいアフィン同変推定器を構築する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.077727846124633
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We investigate the quantitative performance of affine-equivariant estimators for robust mean estimation. As a natural stability requirement, the construction of such affine-equivariant estimators has been extensively studied in the statistics literature. We quantitatively evaluate these estimators under two outlier models which have been the subject of much recent work: the heavy-tailed and adversarial corruption settings. We establish lower bounds which show that affine-equivariance induces a strict degradation in recovery error with quantitative rates degrading by a factor of $\sqrt{d}$ in both settings. We find that classical estimators such as the Tukey median (Tukey '75) and Stahel-Donoho estimator (Stahel '81 and Donoho '82) are either quantitatively sub-optimal even within the class of affine-equivariant estimators or lack any quantitative guarantees. On the other hand, recent estimators with strong quantitative guarantees are not affine-equivariant or require additional distributional assumptions to achieve it. We remedy this by constructing a new affine-equivariant estimator which nearly matches our lower bound. Our estimator is based on a novel notion of a high-dimensional median which may be of independent interest. Notably, our results are applicable more broadly to any estimator whose performance is evaluated in the Mahalanobis norm which, for affine-equivariant estimators, corresponds to an evaluation in Euclidean norm on isotropic distributions.
• Abstract（参考訳）: 我々は,ロバスト平均推定のためのアフィン同変推定器の定量的性能について検討した。 自然安定要件として、そのようなアフィン同変推定器の構築は統計学で広く研究されている。 我々は,最近の研究課題である重み付き汚職と敵対的汚職の2つのモデルを用いて,これらの推定値を定量的に評価した。 affine-equivariance が回復誤差の厳格な低下を招き、両者の設定で$\sqrt{d}$ の因子で定量的に劣化することを示す下限を定式化する。 タキー中央値 (Tukey '75) やスタヘル・ドノホ推定器 (Stahel '81) やドノホ推定器 (Donoho '82) のような古典的推定器は、アフィン同変推定器のクラスにおいても定量的に最適であるか、あるいは量的保証が欠如していることが分かる。 一方で、強い量的保証を持つ最近の推定値はアフィン同値ではなく、それを達成するために追加の分布的仮定を必要とする。 我々は、下界にほぼ一致する新しいアフィン同変推定器を構築することでこれを改善した。 我々の推定子は、独立性のある高次元の中央値の概念に基づいている。 特に,この結果は,アフィン同値な推定者に対して等方性分布のユークリッドノルムの評価に対応するマハラノビスノルムで評価される任意の推定子に対してより広く適用できる。

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