論文の概要: Machine learning detects terminal singularities
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.20458v1
- Date: Tue, 31 Oct 2023 13:51:24 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-11-01 14:54:51.330354
- Title: Machine learning detects terminal singularities
- Title（参考訳）: 機械学習が終端特異点を検出する
- Authors: Tom Coates, Alexander M. Kasprzyk, Sara Veneziale
- Abstract要約: Q-ファノ多様体は、Q-階数終端特異点を持つ正の曲線形状である。
その重要性にもかかわらず、Q-Fanoの分類は未だ不明である。
本稿では,この分類を理解するために機械学習を用いることを実証する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 49.1574468325115
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Algebraic varieties are the geometric shapes defined by systems of polynomial
equations; they are ubiquitous across mathematics and science. Amongst these
algebraic varieties are Q-Fano varieties: positively curved shapes which have
Q-factorial terminal singularities. Q-Fano varieties are of fundamental
importance in geometry as they are "atomic pieces" of more complex shapes - the
process of breaking a shape into simpler pieces in this sense is called the
Minimal Model Programme. Despite their importance, the classification of Q-Fano
varieties remains unknown. In this paper we demonstrate that machine learning
can be used to understand this classification. We focus on 8-dimensional
positively-curved algebraic varieties that have toric symmetry and Picard rank
2, and develop a neural network classifier that predicts with 95% accuracy
whether or not such an algebraic variety is Q-Fano. We use this to give a first
sketch of the landscape of Q-Fanos in dimension 8. How the neural network is
able to detect Q-Fano varieties with such accuracy remains mysterious, and
hints at some deep mathematical theory waiting to be uncovered. Furthermore,
when visualised using the quantum period, an invariant that has played an
important role in recent theoretical developments, we observe that the
classification as revealed by ML appears to fall within a bounded region, and
is stratified by the Fano index. This suggests that it may be possible to state
and prove conjectures on completeness in the future. Inspired by the ML
analysis, we formulate and prove a new global combinatorial criterion for a
positively curved toric variety of Picard rank 2 to have terminal
singularities. Together with the first sketch of the landscape of Q-Fanos in
higher dimensions, this gives new evidence that machine learning can be an
essential tool in developing mathematical conjectures and accelerating
theoretical discovery.
- Abstract（参考訳）: 代数多様体は多項式方程式の系によって定義される幾何学的形状である。
これらの代数多様体のうち、Q-ファノ多様体(Q-ファノ多様体)は、Q-階数終端特異点を持つ正の曲線形である。
q-ファノ多様体は、より複雑な形状の「原子断片」であるため、幾何学において基本的な重要性を持つ。
その重要性にもかかわらず、Q-Fanoの分類は未だ不明である。
本稿では,この分類を理解するために機械学習が利用できることを示す。
トーリック対称性とピカールランク2を有する8次元正曲線代数多様体に注目し,そのような代数多様体がq-ファノであるか否かを95%精度で予測するニューラルネットワーク分類器を開発した。
これを使って、次元8のQ-Fanosの風景をスケッチします。
ニューラルネットワークがそのような精度でQ-Fanoの品種を検知する方法は謎のままであり、発見されるのを待っている深い数学的理論を示唆している。
さらに,最近の理論発展において重要な役割を担った不変量である量子周期を用いて可視化すると,mlによって明らかにされる分類は境界領域内にあるように見え,ファノ指数によって階層化される。
これは、将来完全性に関する予想を述べ、証明することが可能であることを示唆している。
ml解析に触発されて,ピカールランク2の正曲したトーリック多様体に対する新たな大域的組合せ基準を定式化し,証明する。
より高次元のq-fanosの風景の最初のスケッチと共に、これは機械学習が数学的予想を発展させ、理論的発見を加速するのに必須の道具であることを示す新しい証拠となる。
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