論文の概要: Normalizing flows as approximations of optimal transport maps via linear-control neural ODEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.01404v4
• Date: Mon, 02 Dec 2024 21:18:52 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-04 15:38:29.098972
• Title: Normalizing flows as approximations of optimal transport maps via linear-control neural ODEs
• Title（参考訳）: 線形制御ニューラルネットワークによる最適輸送マップの近似としての正規化フロー
• Authors: Alessandro Scagliotti, Sara Farinelli,
• Abstract要約: 我々は、絶対連続測度$mu,nuinmathcalP(mathbbRn)$間の$Wimat$-optimal transport map Tを線形制御ニューラルネットワークのフローとして回収する問題を考える。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 49.1574468325115
• License:
• Abstract: In this paper, we consider the problem of recovering the $W_2$-optimal transport map T between absolutely continuous measures $\mu,\nu\in\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$ as the flow of a linear-control neural ODE, where the control depends only on the time variable and takes values in a finite-dimensional space. We first show that, under suitable assumptions on $\mu,\nu$ and on the controlled vector fields governing the neural ODE, the optimal transport map is contained in the $C^0_c$-closure of the flows generated by the system. Then, we tackle the problem under the assumption that only discrete approximations of $\mu_N,\nu_N$ of the original measures $\mu,\nu$ are available: we formulate approximated optimal control problems, and we show that their solutions give flows that approximate the original optimal transport map $T$. In the framework of generative models, the approximating flow constructed here can be seen as a `Normalizing Flow', which usually refers to the task of providing invertible transport maps between probability measures by means of deep neural networks. We propose an iterative numerical scheme based on the Pontryagin Maximum Principle for the resolution of the optimal control problem, resulting in a method for the practical computation of the approximated optimal transport map, and we test it on a two-dimensional example.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、絶対連続測度 $\mu,\nu\in\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$ を線形制御ニューラルネットワークのフローとして、時間変数のみに依存し、有限次元空間で値を取るような W_2$-Optimal transport map T を復元する問題を考察する。 最初に、$\mu,\nu$およびニューラルODEを管理する制御ベクトル場に対する適切な仮定の下で、最適輸送写像がシステムによって生成されたフローの$C^0_c$-クロージャに含まれることを示す。 そして、元の測度 $\mu,\nu$ の離散近似のみを利用できるという仮定の下でこの問題に取り組む: 近似された最適制御問題を定式化し、それらの解が元の最適輸送写像 $T$ を近似するフローを与えることを示す。 生成モデルの枠組みでは、ここで構築された近似フローは'Normalizing Flow'と見ることができる。 本稿では,最適制御問題の解法に対するポントリャーギン最大原理に基づく反復的数値スキームを提案し,近似された最適輸送写像の実用的な計算法を提案し,これを2次元例で検証する。

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