論文の概要: The Local Landscape of Phase Retrieval Under Limited Samples
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.15221v2
- Date: Fri, 11 Oct 2024 21:34:57 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-15 15:03:24.348200
- Title: The Local Landscape of Phase Retrieval Under Limited Samples
- Title（参考訳）: 限定サンプルによる位相検索の地域景観
- Authors: Kaizhao Liu, Zihao Wang, Lei Wu,
- Abstract要約: 我々は,地球規模のミニマを囲む良質な景観を高次元で確保するために必要となる最小限のサンプルサイズを確認することを目的としている。
まず、 whenn=odlog d の局所凸性について調べる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.366532279123359
- License:
- Abstract: In this paper, we present a fine-grained analysis of the local landscape of phase retrieval under the regime of limited samples. Specifically, we aim to ascertain the minimal sample size required to guarantee a benign local landscape surrounding global minima in high dimensions. Let $n$ and $d$ denote the sample size and input dimension, respectively. We first explore the local convexity and establish that when $n=o(d\log d)$, for almost every fixed point in the local ball, the Hessian matrix has negative eigenvalues, provided $d$ is sufficiently large. % Consequently, the local landscape is highly non-convex. We next consider the one-point convexity and show that, as long as $n=\omega(d)$, with high probability, the landscape is one-point strongly convex in the local annulus: $\{w\in\mathbb{R}^d: o_d(1)\leqslant \|w-w^*\|\leqslant c\}$, where $w^*$ is the ground truth and $c$ is an absolute constant. This implies that gradient descent, initialized from any point in this domain, can converge to an $o_d(1)$-loss solution exponentially fast. Furthermore, we show that when $n=o(d\log d)$, there is a radius of $\widetilde\Theta\left(\sqrt{1/d}\right)$ such that one-point convexity breaks down in the corresponding smaller local ball. This indicates an impossibility of establishing a convergence to the exact $w^*$ for gradient descent under limited samples by relying solely on one-point convexity.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,限られたサンプルの条件下での位相検索の局部的景観を詳細に解析する。
具体的には,地球規模のミニマを囲む良質な景観を高次元で確保するために必要な最小限のサンプルサイズを確認することを目的としている。
n$ と $d$ はそれぞれサンプルサイズと入力次元を表す。
まず、局所凸性を探索し、$n=o(d\log d)$ が局所球のほとんどすべての固定点に対して負の固有値を持つとき、d$ が十分大きいことを証明した。
その結果,局所的な景観は非凸性であった。
次に、一点凸性を考えると、高い確率で$n=\omega(d)$ が局所環の1点強い凸であることを示す: $\{w\in\mathbb{R}^d: o_d(1)\leqslant \|w-w^*\|\leqslant c\}$、$w^*$ が基底真理であり、$c$ が絶対定数である。
このことは、この領域の任意の点から初期化された勾配降下が $o_d(1)$-loss の解に指数関数的に収束できることを意味する。
さらに、$n=o(d\log d)$ のとき、半径が $\widetilde\Theta\left(\sqrt{1/d}\right)$ であることを示し、一点凸性は対応する小さな局所球において破れる。
これは、一点凸性のみに依存することで、限られたサンプルの下での勾配降下の正確な$w^*$への収束を確立することができないことを示している。
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