論文の概要: Gapped Clique Homology on weighted graphs is $\text{QMA}_1$-hard and contained in $\text{QMA}$
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.17234v2
- Date: Sun, 06 Oct 2024 23:00:19 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-08 13:12:03.711459
- Title: Gapped Clique Homology on weighted graphs is $\text{QMA}_1$-hard and contained in $\text{QMA}$
- Title(参考訳): Gapped Clique Homology on weighted graphs is $\text{QMA}_1$-hard and contained in $\text{QMA}$
- Authors: Robbie King, Tamara Kohler,
- Abstract要約: 計算トポロジにおける古典問題の複雑性, ホモロジー問題について検討する。
複雑性は量子複雑性クラスによって特徴づけられる。
我々の結果は、ホモロジーと超対称量子力学の結びつきの側面と見なすことができる。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 0.0
- License:
- Abstract: We study the complexity of a classic problem in computational topology, the homology problem: given a description of some space $X$ and an integer $k$, decide if $X$ contains a $k$-dimensional hole. The setting and statement of the homology problem are completely classical, yet we find that the complexity is characterized by quantum complexity classes. Our result can be seen as an aspect of a connection between homology and supersymmetric quantum mechanics. We consider clique complexes, motivated by the practical application of topological data analysis (TDA). The clique complex of a graph is the simplicial complex formed by declaring every $k+1$-clique in the graph to be a $k$-simplex. Our main result is that deciding whether the clique complex of a weighted graph has a hole or not, given a suitable promise on the gap, is $\text{QMA}_1$-hard and contained in $\text{QMA}$. Our main innovation is a technique to lower bound the eigenvalues of the combinatorial Laplacian operator. For this, we invoke a tool from algebraic topology known as \emph{spectral sequences}. In particular, we exploit a connection between spectral sequences and Hodge theory. Spectral sequences will play a role analogous to perturbation theory for combinatorial Laplacians. In addition, we develop the simplicial surgery technique used in prior work. Our result provides some suggestion that the quantum TDA algorithm \emph{cannot} be dequantized. More broadly, we hope that our results will open up new possibilities for quantum advantage in topological data analysis.
- Abstract(参考訳): 計算トポロジーにおける古典問題、ホモロジー問題:ある空間$X$と整数$k$の説明が与えられたとき、$X$が$k$次元の穴を持つかどうかを決定する。
ホモロジー問題の設定とステートメントは完全に古典的であるが、複雑性は量子複雑性クラスによって特徴づけられる。
この結果は、ホモロジーと超対称量子力学の結びつきの側面と見なすことができる。
我々は、トポロジカルデータ解析(TDA)の実践的応用に動機づけられた斜方体を考察する。
グラフのclique complex(英語版)は、グラフのすべての$k+1$-cliqueを$k$-simplex(英語版)と宣言することによって形成される単純複素体である。
我々の主な結果は、重み付きグラフのclique complexが穴を持つかどうかを判断し、そのギャップに適切な約束が与えられると、$\text{QMA}_1$-hard となり、$\text{QMA}$ に含まれる。
我々の主な革新は、組合せラプラシア作用素の固有値を下げる手法である。
このため、代数的トポロジーからツールを「emph{spectral sequences}」と呼ぶ。
特に、スペクトル列とホッジ理論の接続を利用する。
スペクトル列は、組合せラプラシアンに対する摂動理論に類似した役割を果たす。
また,本研究は,従来の作業で用いられる外科手術技術を開発した。
この結果は、量子TDAアルゴリズム \emph{cannot} が不等化されることを示唆している。
より広範に、我々の結果は、トポロジカルデータ分析における量子優位性の新しい可能性を開くことを願っている。
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