論文の概要: Complexity of Supersymmetric Systems and the Cohomology Problem
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2107.00011v2
- Date: Thu, 18 Apr 2024 11:28:25 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-21 20:14:16.652876
- Title: Complexity of Supersymmetric Systems and the Cohomology Problem
- Title（参考訳）: 超対称性系の複雑性とコホモロジー問題
- Authors: Chris Cade, P. Marcos Crichigno,
- Abstract要約: 我々は、$mathcal N=2 $ 超対称性を持つフェルミオンハミルトニアンの文脈における局所ハミルトニアン問題の複雑さを考える。
これを研究する主な動機は、超対称系の基底状態エネルギーがちょうどゼロであることと、あるコホモロジー群が非自明であることである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We consider the complexity of the local Hamiltonian problem in the context of fermionic Hamiltonians with $\mathcal N=2 $ supersymmetry and show that the problem remains $\mathsf{QMA}$-complete. Our main motivation for studying this is the well-known fact that the ground state energy of a supersymmetric system is exactly zero if and only if a certain cohomology group is nontrivial. This opens the door to bringing the tools of Hamiltonian complexity to study the computational complexity of a large number of algorithmic problems that arise in homological algebra, including problems in algebraic topology, algebraic geometry, and group theory. We take the first steps in this direction by introducing the $k$-local Cohomology problem and showing that it is $\mathsf{QMA}_1$-hard and, for a large class of instances, is contained in $\mathsf{QMA}$. We then consider the complexity of estimating normalized Betti numbers and show that this problem is hard for the quantum complexity class $\mathsf{DQC}1$, and for a large class of instances is contained in $\mathsf{BQP}$. In light of these results, we argue that it is natural to frame many of these homological problems in terms of finding ground states of supersymmetric fermionic systems. As an illustration of this perspective we discuss in some detail the model of Fendley, Schoutens, and de Boer consisting of hard-core fermions on a graph, whose ground state structure encodes $l$-dimensional holes in the independence complex of the graph. This offers a new perspective on existing quantum algorithms for topological data analysis and suggests new ones.
- Abstract（参考訳）: 我々は、局所ハミルトニアン問題の複雑性を$\mathcal N=2 $ 超対称性を持つフェルミオンハミルトニアンの文脈で考慮し、その問題が$\mathsf{QMA}$-完全であることを示す。
これを研究する主な動機は、超対称系の基底状態エネルギーがちょうどゼロであることと、あるコホモロジー群が非自明であることである。
このことは、代数トポロジー、代数幾何学、群論などの問題を含むホモロジー代数で生じる多くのアルゴリズム問題の計算複雑性を研究するためにハミルトンの複雑さのツールをもたらすための扉を開く。
k$-局所コホモロジー問題を導入して、それが$\mathsf{QMA}_1$-hardであることを示し、大規模なインスタンスに対して、$\mathsf{QMA}$に含まれることを示す。
次に、正規化されたベティ数の推定の複雑さを考察し、この問題が量子複雑性クラス $\mathsf{DQC}1$ にとって困難であることを示し、また、大規模なインスタンスのクラスは $\mathsf{BQP}$ に含まれる。
これらの結果を踏まえて、超対称フェルミオン系の基底状態を見つけるという観点から、これらのホモロジー問題の多くをフレーム化するのは自然であると主張する。
この視点の図解として、グラフ上のハードコアフェルミオンからなるフェンドリー、シューテンス、ド・ボアのモデルについて、基底状態構造はグラフの独立複素体に$l$次元の穴を符号化する。
これは、トポロジカルデータ分析のための既存の量子アルゴリズムの新しい視点を提供し、新しいものを提案する。
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