論文の概要: Deep Neural Networks and Finite Elements of Any Order on Arbitrary Dimensions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.14276v1
• Date: Thu, 21 Dec 2023 19:57:29 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-12-25 16:48:07.084688
• Title: Deep Neural Networks and Finite Elements of Any Order on Arbitrary Dimensions
• Title（参考訳）: 任意次元上の任意の順序のディープニューラルネットワークと有限要素
• Authors: Juncai He, Jinchao Xu
• Abstract要約: これらの要素の幾何学的分解に基礎を置き、高次元のsimplicial mesh とbarycentric coordinate function の2つの本質的な性質を利用する、ラグランジュ要素の基底関数の新たなグローバルな定式化を導入する。 我々の研究結果は、ディープニューラルネットワークがいかにして一般的な連続的な関数を体系的に生成できるかを示す最初のデモンストレーションである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.7195102129095003
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this study, we establish that deep neural networks employing ReLU and ReLU$^2$ activation functions are capable of representing Lagrange finite element functions of any order on simplicial meshes across arbitrary dimensions. We introduce a novel global formulation of the basis functions for Lagrange elements, grounded in a geometric decomposition of these elements and leveraging two essential properties of high-dimensional simplicial meshes and barycentric coordinate functions. This representation theory facilitates a natural approximation result for such deep neural networks. Our findings present the first demonstration of how deep neural networks can systematically generate general continuous piecewise polynomial functions.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,reluおよびrelu$^2$アクティベーション関数を用いた深層ニューラルネットワークが,任意の次元にまたがる単純メッシュ上の任意の順序のラグランジュ有限要素関数を表現できることを示す。 これらの要素の幾何学的分解に基礎を置き、高次元のsimplicial mesh とbarycentric coordinate function の2つの本質的な性質を利用する、ラグランジュ要素の基底関数の新たなグローバルな定式化を導入する。 この表現理論は、そのようなディープニューラルネットワークの自然な近似結果を促進する。 本研究は,ディープニューラルネットワークが一般連続分節多項式関数を体系的に生成できることを示す最初の例である。

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