論文の概要: Robust Physics Informed Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.02300v2
• Date: Fri, 12 Jan 2024 12:31:17 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-01-15 23:41:48.394665
• Title: Robust Physics Informed Neural Networks
• Title（参考訳）: ロバスト物理インフォームドニューラルネットワーク
• Authors: Marcin {\L}o\'s, Maciej Paszy\'nski
• Abstract要約: 偏微分方程式 (PDE) を近似するために, 物理情報ニューラルネットワーク (RPINN) の頑健なバージョンを導入する。 我々は2つのラプラス問題と2つの空間次元における1つの対流拡散問題に対してRPINNアルゴリズムを検証した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.21756081703275998
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We introduce a Robust version of the Physics-Informed Neural Networks (RPINNs) to approximate the Partial Differential Equations (PDEs) solution. Standard Physics Informed Neural Networks (PINN) takes into account the governing physical laws described by PDE during the learning process. The network is trained on a data set that consists of randomly selected points in the physical domain and its boundary. PINNs have been successfully applied to solve various problems described by PDEs with boundary conditions. The loss function in traditional PINNs is based on the strong residuals of the PDEs. This loss function in PINNs is generally not robust with respect to the true error. The loss function in PINNs can be far from the true error, which makes the training process more difficult. In particular, we do not know if the training process has already converged to the solution with the required accuracy. This is especially true if we do not know the exact solution, so we cannot estimate the true error during the training. This paper introduces a different way of defining the loss function. It incorporates the residual and the inverse of the Gram matrix, computed using the energy norm. We test our RPINN algorithm on two Laplace problems and one advection-diffusion problem in two spatial dimensions. We conclude that RPINN is a robust method. The proposed loss coincides well with the true error of the solution, as measured in the energy norm. Thus, we know if our training process goes well, and we know when to stop the training to obtain the neural network approximation of the solution of the PDE with the true error of required accuracy.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式 (PDE) を近似するために, 物理情報ニューラルネットワーク (RPINN) のロバスト版を導入する。 標準物理情報ニューラルネットワーク(PINN)は、学習過程においてPDEが記述した物理法則を考慮に入れている。 ネットワークは、物理領域とその境界内のランダムに選択された点からなるデータセット上でトレーニングされる。 PINNは境界条件を持つPDEによって記述された様々な問題の解決に成功している。 従来のPINNの損失関数はPDEの強い残基に基づいている。 PINNにおけるこの損失関数は、一般に真の誤りに関して堅牢ではない。 PINNの損失関数は真のエラーとは程遠いため、トレーニングプロセスはより難しくなる。 特に、トレーニングプロセスが既に必要な精度でソリューションに収束したかどうかは不明です。 これは、正確な解決策がわからなければ特に当てはまるので、トレーニング中に真のエラーを見積もることはできません。 本稿では、損失関数を定義する別の方法を紹介する。 これは、エネルギーノルムを用いて計算されたグラム行列の残差と逆行列を組み込む。 2つのラプラス問題と2つの空間次元のアドベクション拡散問題に対してrpinnアルゴリズムをテストした。 rpinnはロバストな方法であると結論づける。 提案された損失は、エネルギーノルムで測定された解の真の誤りとよく一致する。 したがって、トレーニングプロセスがうまく行っているかどうかが分かっており、PDEの解のニューラルネットワーク近似を真に正確な精度の誤差で取得するためにトレーニングをいつ停止するかを知っています。

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