論文の概要: Fast Kernel Summation in High Dimensions via Slicing and Fourier Transforms

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.08260v3
• Date: Mon, 18 Nov 2024 19:24:17 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-20 13:32:46.125202
• Title: Fast Kernel Summation in High Dimensions via Slicing and Fourier Transforms
• Title（参考訳）: スライシングとフーリエ変換による高次元カーネルの高速化
• Authors: Johannes Hertrich,
• Abstract要約: カーネルベースの手法は機械学習で多用されている。 彼らは考慮されたデータポイントの$O(N2)$複雑さに悩まされる。 近似法を提案し、この複雑さを$O(N)$に削減する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: Kernel-based methods are heavily used in machine learning. However, they suffer from $O(N^2)$ complexity in the number $N$ of considered data points. In this paper, we propose an approximation procedure, which reduces this complexity to $O(N)$. Our approach is based on two ideas. First, we prove that any radial kernel with analytic basis function can be represented as sliced version of some one-dimensional kernel and derive an analytic formula for the one-dimensional counterpart. It turns out that the relation between one- and $d$-dimensional kernels is given by a generalized Riemann-Liouville fractional integral. Hence, we can reduce the $d$-dimensional kernel summation to a one-dimensional setting. Second, for solving these one-dimensional problems efficiently, we apply fast Fourier summations on non-equispaced data, a sorting algorithm or a combination of both. Due to its practical importance we pay special attention to the Gaussian kernel, where we show a dimension-independent error bound and represent its one-dimensional counterpart via a closed-form Fourier transform. We provide a run time comparison and error estimate of our fast kernel summations.
• Abstract（参考訳）: カーネルベースの手法は機械学習で多用されている。 しかし、考慮されたデータポイントの$O(N^2)$の複雑さに悩まされている。 本稿では,この複雑性を$O(N)$に縮める近似法を提案する。 私たちのアプローチは2つの考えに基づいている。 まず,解析基底関数を持つ任意のラジアルカーネルを,ある1次元カーネルのスライス版として表現し,その1次元カーネルの解析式を導出する。 1-次元核と$d$次元核の関係は、一般化されたリーマン・リウヴィル分数積分によって与えられる。 したがって、$d$-dimensional kernel summation を 1 次元の設定に還元することができる。 第二に、これらの一次元問題を効率的に解くために、非等間隔データ、ソートアルゴリズム、あるいは両者の組み合わせに高速なフーリエ和を適用する。 その実用的重要性のため、我々はガウス核に特別な注意を払っており、そこでは次元非依存の誤差境界を示し、閉形式フーリエ変換によってその1次元の逆を表現している。 高速なカーネル和のランタイム比較とエラー推定を行う。

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