論文の概要: Smoothed Distance Kernels for MMDs and Applications in Wasserstein Gradient Flows

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.07820v1
• Date: Thu, 10 Apr 2025 14:57:33 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-04-11 12:22:18.922019
• Title: Smoothed Distance Kernels for MMDs and Applications in Wasserstein Gradient Flows
• Title（参考訳）: MMD用スムース距離カーネルとワッサーシュタイン勾配流れへの応用
• Authors: Nicolaj Rux, Michael Quellmalz, Gabriele Steidl,
• Abstract要約: K(x,y) := - |x-y|$ は統計学における最大平均誤差 (MMD) の定義に用いられた。 本稿では, 負距離カーネルの次数 1 の条件正定値として好適な特性を保った新しいカーネルを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.3654846342364308
• License:
• Abstract: Negative distance kernels $K(x,y) := - \|x-y\|$ were used in the definition of maximum mean discrepancies (MMDs) in statistics and lead to favorable numerical results in various applications. In particular, so-called slicing techniques for handling high-dimensional kernel summations profit from the simple parameter-free structure of the distance kernel. However, due to its non-smoothness in $x=y$, most of the classical theoretical results, e.g. on Wasserstein gradient flows of the corresponding MMD functional do not longer hold true. In this paper, we propose a new kernel which keeps the favorable properties of the negative distance kernel as being conditionally positive definite of order one with a nearly linear increase towards infinity and a simple slicing structure, but is Lipschitz differentiable now. Our construction is based on a simple 1D smoothing procedure of the absolute value function followed by a Riemann-Liouville fractional integral transform. Numerical results demonstrate that the new kernel performs similarly well as the negative distance kernel in gradient descent methods, but now with theoretical guarantees.
• Abstract（参考訳）: 負距離カーネル $K(x,y) := - \|x-y\|$ は統計学における最大平均誤差 (MMD) の定義に使われ、様々な応用において好意的な数値結果をもたらした。 特に、高次元カーネル和を扱ういわゆるスライシング技術は、距離カーネルの単純なパラメータフリー構造から利益を得る。 しかし、$x=y$の非滑らか性のため、古典的な理論的な結果のほとんどは、対応するMDD汎函数のワッサーシュタイン勾配フロー上の eg はもはや成り立たない。 本稿では, 負距離核の条件的正定値として, ほぼ線形に無限大への増加と単純なスライシング構造を保ちながら, 現在ではリプシッツ微分可能である新しいカーネルを提案する。 我々の構成は、絶対値関数の単純な1次元滑らか化手順に基づいており、リーマン・リウヴィル分数積分変換が続く。 数値計算の結果,新しいカーネルは勾配降下法では負距離のカーネルとよく似ているが,現在では理論的に保証されている。

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