論文の概要: The Challenges of the Nonlinear Regime for Physics-Informed Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2402.03864v3
• Date: Thu, 31 Oct 2024 10:59:05 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-01 16:57:12.132474
• Title: The Challenges of the Nonlinear Regime for Physics-Informed Neural Networks
• Title（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワークにおける非線形レジームの課題
• Authors: Andrea Bonfanti, Giuseppe Bruno, Cristina Cipriani,
• Abstract要約: 非線形シナリオではNTKの視点が不足していることを示す。 線形および非線形の両方の場合において,そのような手法の収束保証について検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: The Neural Tangent Kernel (NTK) viewpoint is widely employed to analyze the training dynamics of overparameterized Physics-Informed Neural Networks (PINNs). However, unlike the case of linear Partial Differential Equations (PDEs), we show how the NTK perspective falls short in the nonlinear scenario. Specifically, we establish that the NTK yields a random matrix at initialization that is not constant during training, contrary to conventional belief. Another significant difference from the linear regime is that, even in the idealistic infinite-width limit, the Hessian does not vanish and hence it cannot be disregarded during training. This motivates the adoption of second-order optimization methods. We explore the convergence guarantees of such methods in both linear and nonlinear cases, addressing challenges such as spectral bias and slow convergence. Every theoretical result is supported by numerical examples with both linear and nonlinear PDEs, and we highlight the benefits of second-order methods in benchmark test cases.
• Abstract（参考訳）: The Neural Tangent Kernel (NTK) perspective is widely used to analyze the training dynamics of overparameterized Physics-Informed Neural Networks (PINNs)。 しかし、線形偏微分方程式(PDE)とは異なり、非線形シナリオにおいてNTKパースペクティブが不足することを示す。 具体的には、NTKは、従来の信念とは対照的に、トレーニング中に一定ではない初期化時にランダムな行列を生成する。 線型系との大きな違いは、理想主義的な無限幅極限でさえ、ヘッセンは消滅せず、したがって訓練中は無視できないことである。 これは二階最適化法の採用を動機付けている。 線形および非線形の場合においても,そのような手法の収束保証について検討し,スペクトルバイアスや緩やかな収束といった課題に対処する。 各理論結果は線形PDEと非線形PDEの数値例によって支持され、ベンチマークテストケースにおける2次手法の利点を強調した。

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