論文の概要: Continuous Multidimensional Scaling
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2402.04436v3
- Date: Wed, 11 Dec 2024 17:22:54 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-12-12 14:00:01.941048
- Title: Continuous Multidimensional Scaling
- Title（参考訳）: 連続多次元スケーリング
- Authors: Michael W. Trosset, Carey E. Priebe,
- Abstract要約: 多次元スケーリング(MDS)は、$d$次元ユークリッド空間に$n$オブジェクトの集合に関する近接情報を埋め込む行為である。
ここでは、Kruskal (1964) の生応力基準を最小化することにより、相似性を埋め込むことを懸念する。
点対集合写像の理論の標準的な結果は、$n$ が固定され、相似性の列が収束すると、それらの埋め込み構造の極限が制限相似性行列の埋め込み構造であることを示すために用いられる。
我々はこのような改革を継続MDSとして提示する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 14.537835814280221
- License:
- Abstract: Multidimensional scaling (MDS) is the act of embedding proximity information about a set of $n$ objects in $d$-dimensional Euclidean space. As originally conceived by the psychometric community, MDS was concerned with embedding a fixed set of proximities associated with a fixed set of objects. Modern concerns, e.g., that arise in developing asymptotic theories for statistical inference on random graphs, more typically involve studying the limiting behavior of a sequence of proximities associated with an increasing set of objects. Here we are concerned with embedding dissimilarities by minimizing Kruskal's (1964) raw stress criterion. Standard results from the theory of point-to-set maps can be used to establish that, if $n$ is fixed and a sequence of dissimilarity matrices converges, then the limit of their embedded structures is the embedded structure of the limiting dissimilarity matrix. But what if $n$ increases? It then becomes necessary to reformulate MDS so that the entire sequence of embedding problems can be viewed as a sequence of optimization problems in a fixed space. We present such a reformulation, {\em continuous MDS}. Within the continuous MDS framework, we derive two $L^p$ consistency results, one for embedding without constraints on the configuration, the other for embedding subject to {\em approximate Lipschitz constraints}\/ that encourage smoothness of the embedding function. The latter approach, {\em Approximate Lipschitz Embedding}\/ (ALE) is new. Finally, we demonstrate that embedded structures produced by ALE can be interpolated in a way that results in uniform convergence.
- Abstract（参考訳）: 多次元スケーリング(MDS)は、$d$次元ユークリッド空間に$n$オブジェクトの集合に関する近接情報を埋め込む行為である。
もともと心理測定のコミュニティが考え出したように、MDSは固定されたオブジェクトの集合に関連する固定された確率のセットを埋めることに関心を持っていた。
現代の関心事、例えば、ランダムグラフ上の統計的推論のための漸近理論を発達させることで生じる、より一般的には、増大するオブジェクトの集合に付随する確率列の制限的振舞いを研究することである。
ここでは、Kruskal (1964) の生応力基準を最小化することにより、相似性を埋め込むことを懸念する。
点対集合写像の理論の標準的な結果は、$n$ が固定され、相似行列列が収束すると、それらの埋め込み構造の極限が制限相似行列の埋め込み構造であることを示すために用いられる。
しかし、もし$n$が上がったら?
すると、MDSを再構成し、埋め込み問題全体の列を固定空間における最適化問題の列と見なせるようにする必要がある。
このような再編成を連続 MDS と呼ぶ。
連続MDSフレームワーク内では、2つの$L^p$整合性の結果が導出され、1つは構成に制約のない埋め込みのためのものであり、もう1つは埋め込み関数の滑らかさを助長する {\em 近似リプシッツ制約に対する埋め込みのためのものである。
後者のアプローチ、 {\displaystyle {\em Approximate Lipschitz Embedding}\/ (ALE) は新しいものである。
最後に、ALEが生成する埋め込み構造を、均一収束をもたらす方法で補間できることを実証する。
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