論文の概要: Local Quantum Search Algorithm for Random $k$-SAT with $Ω(n^{1+ε})$ Clauses

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.03237v2
• Date: Sun, 03 Nov 2024 10:00:18 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-05 21:26:24.112016
• Title: Local Quantum Search Algorithm for Random $k$-SAT with $Ω(n^{1+ε})$ Clauses
• Title（参考訳）: Ω(n^{1+ε})$クロース付きランダム$k$-SATの局所量子探索アルゴリズム
• Authors: Mingyou Wu,
• Abstract要約: 平均ケース複雑性理論に基づいて,$m=Omega(n2+delta+epsilon)$のとき,max-k-SSAT が平均計算アルゴリズムであることを示す。 また、平均ケース複雑性理論に基づいて$m=Omega(n2+delta+epsilon)$のとき、max-k-SSATが平均であることが証明される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: The random k-SAT instances undergo a "phase transition" from being generally satisfiable to unsatisfiable as the clause number m passes a critical threshold, $r_k n$. This causes a drastic reduction in the number of satisfying assignments, shifting the problem from being generally solvable on classical computers to typically insolvable. Beyond this threshold, it is challenging to comprehend the computational complexity of random k-SAT. In quantum computing, Grover's search still yields exponential time requirements due to the neglect of structural information. Leveraging the structure inherent in search problems, we propose the k-local quantum search algorithm, which extends quantum search to structured scenarios. Grover's search, by contrast, addresses the unstructured case where k=n. Given that the search algorithm necessitates the presence of a target, we specifically focus on the problem of searching the interpretation of satisfiable instances of k-SAT, denoted as max-k-SSAT. If this problem is solvable in polynomial time, then k-SAT can also be solved within the same complexity. We demonstrate that, for small $k \ge 3$, any small $\epsilon>0$ and sufficiently large n: $\cdot$ k-local quantum search achieves general efficiency on random instances of max-k-SSAT with $m=\Omega(n^{2+\delta+\epsilon})$ using $\mathcal{O}(n)$ iterations, and $\cdot$ k-local adiabatic quantum search enhances the bound to $m=\Omega(n^{1+\delta+\epsilon})$ within an evolution time of $\mathcal{O}(n^2)$. In both cases, the circuit complexity of each iteration is $\mathcal{O}(n^k)$, and the efficiency is assured with overwhelming probability $1 - \mathcal{O}(\mathrm{erfc}(n^{\delta/2}))$. By modifying this algorithm capable of solving all instances of max-k-SSAT, we further prove that max-k-SSAT is polynomial on average when $m=\Omega(n^{2+\epsilon})$ based on the average-case complexity theory.
• Abstract（参考訳）: ランダム k-SAT インスタンスは、節数 m が臨界しきい値である $r_k n$ を通過するため、一般的には満足できないから不満足になる。 これにより、満足度の高い代入の数が大幅に減少し、古典的なコンピュータでは解けない問題から解けない問題へとシフトする。 このしきい値を超えて、ランダムk-SATの計算複雑性を理解することは困難である。 量子コンピューティングにおいて、グロバーの探索は、構造情報の無視により指数時間要求がもたらされる。 探索問題に固有の構造を利用して,量子探索を構造化シナリオに拡張するk局所量子探索アルゴリズムを提案する。 対照的にグロバーの探索は、k=n の非構造ケースに対処する。 探索アルゴリズムがターゲットの存在を必要とすることを考慮し,k-SAT の許容可能なインスタンスの解釈を max-k-SSAT と表現する問題に焦点をあてる。 この問題が多項式時間で解けるなら、k-SATも同じ複雑さで解ける。 小さい$k \ge 3$と十分大きな n: $\cdot$ k-local quantum search は$m=\Omega(n^{2+\delta+\epsilon})$ using $\mathcal{O}(n)$ iterations, and $\cdot$ k-local adiabatic quantum search は $m=\Omega(n^{1+\delta+\epsilon})$ の進化時間内で $m=\Omega(n^{1+\delta+\epsilon})$ への有界性を高める。 どちらの場合も、各反復の回路複雑性は$\mathcal{O}(n^k)$であり、その効率は圧倒的な確率 1 - \mathcal{O}(\mathrm{erfc}(n^{\delta/2})$ で保証される。 このアルゴリズムを最大k-SSATのすべてのインスタンスを解くことができるように修正することにより、平均ケース複雑性理論に基づいて$m=\Omega(n^{2+\epsilon})$のとき、最大k-SSATが多項式であることがさらに証明される。

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