論文の概要: Random walks on simplicial complexes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.08803v1
• Date: Fri, 12 Apr 2024 20:37:34 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-04-16 18:42:32.670629
• Title: Random walks on simplicial complexes
• Title（参考訳）: 単純錯体上のランダムウォーク
• Authors: Thomas Bonis, Laurent Decreusefond, Viet Chi Tran, Zhihan Iris Zhang,
• Abstract要約: マルコフ連鎖の生成元は、離散構造に対する代数トポロジーの文脈で定義される上ラプラシアンであることが示される。 本研究は, 単体錯体が平坦なトーラスの再精製三角形の列である場合の拡散限界について検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9937132009954994
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The notion of Laplacian of a graph can be generalized to simplicial complexes and hypergraphs, and contains information on the topology of these structures. Even for a graph, the consideration of associated simplicial complexes is interesting to understand its shape. Whereas the Laplacian of a graph has a simple probabilistic interpretation as the generator of a continuous time Markov chain on the graph, things are not so direct when considering simplicial complexes. We define here new Markov chains on simplicial complexes. For a given order~$k$, the state space is the set of $k$-cycles that are chains of $k$-simplexes with null boundary. This new framework is a natural generalization of the canonical Markov chains on graphs. We show that the generator of our Markov chain is the upper Laplacian defined in the context of algebraic topology for discrete structure. We establish several key properties of this new process: in particular, when the number of vertices is finite, the Markov chain is positive recurrent. This result is not trivial, since the cycles can loop over themselves an unbounded number of times. We study the diffusive limits when the simplicial complexes under scrutiny are a sequence of ever refining triangulations of the flat torus. Using the analogy between singular and Hodge homologies, we express this limit as valued in the set of currents. The proof of tightness and the identification of the limiting martingale problem make use of the flat norm and carefully controls of the error terms in the convergence of the generator. Uniqueness of the solution to the martingale problem is left open. An application to hole detection is carried.
• Abstract（参考訳）: グラフのラプラシアンの概念は単純複素数やハイパーグラフに一般化することができ、これらの構造の位相に関する情報を含んでいる。 グラフに対しても、関連する単体錯体の考察は、その形状を理解するのが興味深い。 グラフのラプラシアン (Laplacian) は、グラフ上の連続時間マルコフ連鎖の生成元として単純な確率論的解釈を持つが、単純複素数を考えると、物事はそれほど直接ではない。 ここでは、単体錯体上の新しいマルコフ連鎖を定義する。 与えられた順序~$k$に対して、状態空間は、ヌル境界を持つ$k$-プレプレックスの連鎖である$k$-サイクルの集合である。 この新たなフレームワークはグラフ上の正準マルコフ連鎖の自然な一般化である。 マルコフ連鎖の生成元は、離散構造に対する代数トポロジーの文脈で定義される上ラプラシアンであることが示される。 特に、頂点の数が有限であるとき、マルコフ連鎖は正の繰り返しである。 この結果は自明ではない、なぜならサイクルは自身を無界の回数でループすることができるからである。 本研究は, 単体錯体が平坦なトーラスの再精製三角形の列である場合の拡散限界について検討する。 特異ホモロジーとホッジホモロジーの類似性を用いて、この極限を電流の集合で値付けられたものとして表現する。 タイトネスの証明と制限マルティンゲール問題の同定は、フラットノルムを利用し、ジェネレータの収束における誤差項を慎重に制御する。 マーチンゲール問題に対する解の特異性は未解決のままである。 ホール検出への応用を行う。

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