論文の概要: A general error analysis for randomized low-rank approximation with application to data assimilation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.04811v1
• Date: Wed, 8 May 2024 04:51:56 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-05-09 15:24:34.024013
• Title: A general error analysis for randomized low-rank approximation with application to data assimilation
• Title（参考訳）: ランダム化低ランク近似の一般的な誤差解析とデータ同化への応用
• Authors: Alexandre Scotto Di Perrotolo, Youssef Diouane, Selime Gürol, Xavier Vasseur,
• Abstract要約: 中心行列および非標準行列に対するフロベニウスノルムにおける低ランク近似誤差の解析のための枠組みを提案する。 最小限の仮定の下では、期待と確率の正確な境界を導出する。 私たちの境界には、プロパティを導出し、実践的な選択を動機付けるための明確な解釈があります。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 42.57210316104905
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Randomized algorithms have proven to perform well on a large class of numerical linear algebra problems. Their theoretical analysis is critical to provide guarantees on their behaviour, and in this sense, the stochastic analysis of the randomized low-rank approximation error plays a central role. Indeed, several randomized methods for the approximation of dominant eigen- or singular modes can be rewritten as low-rank approximation methods. However, despite the large variety of algorithms, the existing theoretical frameworks for their analysis rely on a specific structure for the covariance matrix that is not adapted to all the algorithms. We propose a general framework for the stochastic analysis of the low-rank approximation error in Frobenius norm for centered and non-standard Gaussian matrices. Under minimal assumptions on the covariance matrix, we derive accurate bounds both in expectation and probability. Our bounds have clear interpretations that enable us to derive properties and motivate practical choices for the covariance matrix resulting in efficient low-rank approximation algorithms. The most commonly used bounds in the literature have been demonstrated as a specific instance of the bounds proposed here, with the additional contribution of being tighter. Numerical experiments related to data assimilation further illustrate that exploiting the problem structure to select the covariance matrix improves the performance as suggested by our bounds.
• Abstract（参考訳）: ランダム化アルゴリズムは、多くの数値線形代数問題でうまく機能することが証明されている。 彼らの理論解析は、それらの振る舞いの保証を提供するために重要であり、この意味では、ランダム化された低ランク近似誤差の確率的解析が中心的な役割を果たす。 実際、支配的固有モードあるいは特異モードの近似のためのいくつかのランダム化法は、低ランク近似法として書き換えることができる。 しかし、多種多様なアルゴリズムにもかかわらず、それらの分析のための既存の理論フレームワークは、全てのアルゴリズムに適応しない共分散行列の特定の構造に依存している。 中心および非標準ガウス行列に対するフロベニウスノルムの低ランク近似誤差の確率的解析のための一般的な枠組みを提案する。 共分散行列上の最小の仮定の下では、予想と確率の両方の正確な境界を導出する。 我々の境界は、特性を導出し、より効率的な低ランク近似アルゴリズムをもたらす共分散行列に対する実践的な選択を動機付けることができる明確な解釈を持つ。 文献の中で最もよく使われる境界は、ここで提案された境界の特定の例として証明され、より厳密である追加の寄与がある。 データ同化に関する数値実験は、共分散行列の選択に問題構造を利用することにより、我々の限界によって提案される性能が向上することを示している。

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