論文の概要: A geometric decomposition of finite games: Convergence vs. recurrence under exponential weights

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.07224v2
• Date: Sat, 18 May 2024 07:16:24 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-05-21 20:15:46.272197
• Title: A geometric decomposition of finite games: Convergence vs. recurrence under exponential weights
• Title（参考訳）: 有限ゲームの幾何学的分解:指数重みによる収束対再発
• Authors: Davide Legacci, Panayotis Mertikopoulos, Bary Pradelski,
• Abstract要約: ゲームは、ダイナミクスの長時間動作がよく理解されている単純なコンポーネントに分解する。 特に指数的/乗法的重み(EW)スキームの力学はヘルムホルツの定理のユークリッドアンダーピンニングとは相容れない。 我々は、よく知られたゲームの分解と、ポテンシャルおよび調和成分への深い関係を確立する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 24.800126996235512
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In view of the complexity of the dynamics of learning in games, we seek to decompose a game into simpler components where the dynamics' long-run behavior is well understood. A natural starting point for this is Helmholtz's theorem, which decomposes a vector field into a potential and an incompressible component. However, the geometry of game dynamics - and, in particular, the dynamics of exponential / multiplicative weights (EW) schemes - is not compatible with the Euclidean underpinnings of Helmholtz's theorem. This leads us to consider a specific Riemannian framework based on the so-called Shahshahani metric, and introduce the class of incompressible games, for which we establish the following results: First, in addition to being volume-preserving, the continuous-time EW dynamics in incompressible games admit a constant of motion and are Poincar\'e recurrent - i.e., almost every trajectory of play comes arbitrarily close to its starting point infinitely often. Second, we establish a deep connection with a well-known decomposition of games into a potential and harmonic component (where the players' objectives are aligned and anti-aligned respectively): a game is incompressible if and only if it is harmonic, implying in turn that the EW dynamics lead to Poincar\'e recurrence in harmonic games.
• Abstract（参考訳）: ゲームにおける学習のダイナミクスの複雑さを考慮すると、ゲームはより単純なコンポーネントに分解され、ダイナミクスの長期動作がよく理解される。 これに対する自然な出発点としてヘルムホルツの定理があり、ベクトル場をポテンシャルと非圧縮成分に分解する。 しかし、ゲーム力学の幾何学、特に指数的/乗法的重み(EW)スキームの力学はヘルムホルツの定理のユークリッドアンダーピンニングとは相容れない。 第一に、容積保存に加えて、非圧縮ゲームにおける連続時間EWダイナミクスは運動の定数を許容し、ポアンカーの繰り返しである、すなわち、プレイのほぼすべての軌道は、その出発点に無限に近づく。 第二に、よく知られたゲームの分解と(プレイヤーの目的がそれぞれ整列し、反整列している)ポテンシャルと調和成分との深い関係を確立する: ゲームが非圧縮的であることと、それが調和である場合に限り、EWダイナミクスがポインカーの繰り返しを調和ゲームで導くことを暗示する。

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