論文の概要: Convergence Analysis of Adaptive Gradient Methods under Refined Smoothness and Noise Assumptions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2406.04592v2
• Date: Fri, 11 Oct 2024 03:23:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-14 13:29:07.763576
• Title: Convergence Analysis of Adaptive Gradient Methods under Refined Smoothness and Noise Assumptions
• Title（参考訳）: 平滑化と騒音推定を考慮した適応勾配法の収束解析
• Authors: Ruichen Jiang, Devyani Maladkar, Aryan Mokhtari,
• Abstract要約: AdaGradは特定の条件下では$d$でSGDより優れていることを示す。 これを動機として、目的物の滑らかさ構造と勾配のばらつきを仮定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 18.47705532817026
• License:
• Abstract: Adaptive gradient methods, such as AdaGrad, are among the most successful optimization algorithms for neural network training. While these methods are known to achieve better dimensional dependence than stochastic gradient descent (SGD) under favorable geometry for stochastic convex optimization, the theoretical justification for their success in stochastic non-convex optimization remains elusive. In fact, under standard assumptions of Lipschitz gradients and bounded noise variance, it is known that SGD is worst-case optimal (up to absolute constants) in terms of finding a near-stationary point with respect to the $\ell_2$-norm, making further improvements impossible. Motivated by this limitation, we introduce refined assumptions on the smoothness structure of the objective and the gradient noise variance, which better suit the coordinate-wise nature of adaptive gradient methods. Moreover, we adopt the $\ell_1$-norm of the gradient as the stationarity measure, as opposed to the standard $\ell_2$-norm, to align with the coordinate-wise analysis and obtain tighter convergence guarantees for AdaGrad. Under these new assumptions and the $\ell_1$-norm stationarity measure, we establish an upper bound on the convergence rate of AdaGrad and a corresponding lower bound for SGD. In particular, for certain configurations of problem parameters, we show that the iteration complexity of AdaGrad outperforms SGD by a factor of $d$. To the best of our knowledge, this is the first result to demonstrate a provable gain of adaptive gradient methods over SGD in a non-convex setting. We also present supporting lower bounds, including one specific to AdaGrad and one applicable to general deterministic first-order methods, showing that our upper bound for AdaGrad is tight and unimprovable up to a logarithmic factor under certain conditions.
• Abstract（参考訳）: AdaGradのような適応勾配法は、ニューラルネットワークトレーニングにおいて最も成功した最適化アルゴリズムの一つである。 これらの手法は、確率的凸最適化に有利な幾何の下で、確率的勾配降下(SGD)よりも優れた次元依存を実現することが知られているが、確率的非凸最適化の成功の理論的正当性は、いまだ解明されていない。 実際、リプシッツ勾配と有界雑音分散の標準的な仮定の下では、SGD は $\ell_2$-norm に関する準定常点を見つけるという点で最悪のケース最適(絶対定数まで)であることが知られている。 この制限により、目的物の滑らかさ構造と勾配雑音の分散に関する洗練された仮定を導入し、適応勾配法の座標性によく適合する。 さらに、標準の $\ell_2$-norm とは対照的に、勾配の $\ell_1$-norm を定常度尺度として採用し、座標解析と整合し、AdaGrad のより厳密な収束保証を得る。 これらの新しい仮定と$\ell_1$-normの定常度測度の下で、AdaGrad の収束率と SGD の対応する下界の上限を確立する。 特に、問題パラメータの特定の構成について、AdaGradの反復複雑性が$d$の係数でSGDより優れていることを示す。 我々の知る限りでは、これは非凸条件下でSGD上の適応勾配法が証明可能なゲインを示す最初の結果である。 また,AdaGradに特有な部分と,一般決定論的一階法に適用可能な部分を含む下界を支持することにより,AdaGradの上限は,一定の条件下での対数係数まで厳密かつ改善不能であることを示す。

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