論文の概要: Deep Learning Evidence for Global Optimality of Gerver's Sofa

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.11106v1
• Date: Mon, 15 Jul 2024 14:59:32 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-17 19:50:52.969290
• Title: Deep Learning Evidence for Global Optimality of Gerver's Sofa
• Title（参考訳）: ガーバーのソファのグローバル最適性に関する深層学習エビデンス
• Authors: Kuangdai Leng, Jia Bi, Jaehoon Cha, Samuel Pinilla, Jeyan Thiyagalingam,
• Abstract要約: 移動ソファー問題(Moving Sofa Problem)は、単位幅の1L$の廊下を航行できる2次元形状の最大面積を決定することを目的としている。 現在の最高下界は約 2.2195 であり、1992年にジョゼフ・ガーバーによって達成された。 我々は2つのアプローチを報告し、どちらもガーバーの予想を、彼の形状が一意な大域的最大値であるという予想を支持している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.590423821963143
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The Moving Sofa Problem, formally proposed by Leo Moser in 1966, seeks to determine the largest area of a two-dimensional shape that can navigate through an $L$-shaped corridor with unit width. The current best lower bound is about 2.2195, achieved by Joseph Gerver in 1992, though its global optimality remains unproven. In this paper, we investigate this problem by leveraging the universal approximation strength and computational efficiency of neural networks. We report two approaches, both supporting Gerver's conjecture that his shape is the unique global maximum. Our first approach is continuous function learning. We drop Gerver's assumptions that i) the rotation of the corridor is monotonic and symmetric and, ii) the trajectory of its corner as a function of rotation is continuously differentiable. We parameterize rotation and trajectory by independent piecewise linear neural networks (with input being some pseudo time), allowing for rich movements such as backward rotation and pure translation. We then compute the sofa area as a differentiable function of rotation and trajectory using our "waterfall" algorithm. Our final loss function includes differential terms and initial conditions, leveraging the principles of physics-informed machine learning. Under such settings, extensive training starting from diverse function initialization and hyperparameters is conducted, unexceptionally showing rapid convergence to Gerver's solution. Our second approach is via discrete optimization of the Kallus-Romik upper bound, which converges to the maximum sofa area from above as the number of rotation angles increases. We uplift this number to 10000 to reveal its asymptotic behavior. It turns out that the upper bound yielded by our models does converge to Gerver's area (within an error of 0.01% when the number of angles reaches 2100). We also improve their five-angle upper bound from 2.37 to 2.3337.
• Abstract（参考訳）: 1966年にレオ・モーサー(Leo Moser)によって提唱された移動ソファー問題(Moving Sofa Problem)は、単位幅が$L$の廊下を航行できる2次元形状の最大の領域を決定することを目的としている。 現在の最高下界は約 2.2195 であり、1992年にジョゼフ・ガーバーによって達成されたが、その大域的最適性は証明されていない。 本稿では,ニューラルネットワークの普遍近似強度と計算効率を利用して,この問題を考察する。 我々は2つのアプローチを報告し、どちらもガーバーが彼の形状が一意な大域的最大値であるという予想を支持している。 最初のアプローチは継続的関数学習です。 我々はガーバーの仮定を捨てる 一 回廊の回転が単調で対称であること。 二 回転の関数としての角の軌道が連続的に微分可能であること。 独立系線形ニューラルネットワークによる回転と軌道のパラメータ化を行い(入力は擬似時間)、後方回転や純粋翻訳のようなリッチな動きを可能にする。 そこで我々は,我々の「ウォーターフォール」アルゴリズムを用いて,ソファ領域を回転と軌道の微分可能な関数として計算する。 最終損失関数には差分項と初期条件が含まれており、物理インフォームド機械学習の原理を活用できる。 このような条件下では、多様な関数の初期化とハイパーパラメータから始まる広範なトレーニングが行われ、例外なくガーバーの解への迅速な収束を示す。 第2のアプローチは、回転角が増加するにつれて、上から最大ソファ領域に収束するカラス・ロミク上界の離散的な最適化によるものである。 私たちはこの数字を10000に引き上げて、その漸近的な振る舞いを明らかにします。 モデルによって得られる上限はガーバーの領域に収束する(角度の数が 2100 に達すると誤差は 0.01% になる)。 また、5角上界も2.37から2.3337に改善した。

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