Fugu-MT 論文翻訳(概要): Invariant deep neural networks under the finite group for solving partial differential equations

論文の概要: Invariant deep neural networks under the finite group for solving partial differential equations

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.20560v1
Date: Tue, 30 Jul 2024 05:28:10 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2024-07-31 18:19:06.886942
Title: Invariant deep neural networks under the finite group for solving partial differential equations
Title（参考訳）: 偏微分方程式を解く有限群下の不変ディープニューラルネットワーク
Authors: Zhi-Yong Zhang, Jie-Ying Li, Lei-Lei Guo,
Abstract要約: 我々は、有限群の下でニューラルネットワークのアーキテクチャを不変にする対称性強化ディープニューラルネットワーク(sDNN)を設計する。数値計算の結果,sDNNはサンプリング領域内外において強い予測能力を有することがわかった。
参考スコア（独自算出の注目度）: 1.4916944282865694
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: Utilizing physics-informed neural networks (PINN) to solve partial differential equations (PDEs) becomes a hot issue and also shows its great powers, but still suffers from the dilemmas of limited predicted accuracy in the sampling domain and poor prediction ability beyond the sampling domain which are usually mitigated by adding the physical properties of PDEs into the loss function or by employing smart techniques to change the form of loss function for special PDEs. In this paper, we design a symmetry-enhanced deep neural network (sDNN) which makes the architecture of neural networks invariant under the finite group through expanding the dimensions of weight matrixes and bias vectors in each hidden layers by the order of finite group if the group has matrix representations, otherwise extending the set of input data and the hidden layers except for the first hidden layer by the order of finite group. However, the total number of training parameters is only about one over the order of finite group of the original PINN size due to the symmetric architecture of sDNN. Furthermore, we give special forms of weight matrixes and bias vectors of sDNN, and rigorously prove that the architecture itself is invariant under the finite group and the sDNN has the universal approximation ability to learn the function keeping the finite group. Numerical results show that the sDNN has strong predicted abilities in and beyond the sampling domain and performs far better than the vanilla PINN with fewer training points and simpler architecture.
Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を用いて偏微分方程式(PDE)を解くことはホットな問題であり、その強みを示すが、サンプリング領域における限られた予測精度とサンプリング領域を超えた予測能力のジレンマに苦しむ。本稿では,群が行列表現を持つ場合,各隠蔽層における重み行列とバイアスベクトルの次元を有限群の順序で拡張し,それ以外は第1の隠蔽層以外の入力データと隠蔽層を有限群の順序で拡張することにより,ニューラルネットワークのアーキテクチャを有限群の下で不変にする対称性強化ディープニューラルネットワーク(sDNN)を設計する。しかし、トレーニングパラメータの総数は、sDNNの対称構造のため、元のPINNサイズの有限群のオーダーの約1である。さらに、sDNNの特殊形式の重み行列とバイアスベクトルを与え、アーキテクチャ自体が有限群の下で不変であり、sDNNは有限群を保持する関数を学習する普遍近似能力を有することを厳密に証明する。数値的な結果から,SDNNはサンプリング領域内外において高い予測能力を有し,トレーニングポイントが少なく,よりシンプルなアーキテクチャで,バニラPINNよりもはるかに優れた性能を示した。

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