論文の概要: Convergence analysis of unsupervised Legendre-Galerkin neural networks for linear second-order elliptic PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.08900v1
• Date: Wed, 16 Nov 2022 13:31:03 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-17 16:59:58.391882
• Title: Convergence analysis of unsupervised Legendre-Galerkin neural networks for linear second-order elliptic PDEs
• Title（参考訳）: 線形2次楕円型pdesのための教師なしガレルキンニューラルネットワークの収束解析
• Authors: Seungchan Ko, Seok-Bae Yun and Youngjoon Hong
• Abstract要約: 教師なしレジェンダ-ガレルキンニューラルネットワーク(ULGNet)の収束解析を行う。 ULGNetは偏微分方程式(PDE)を解くためのディープラーニングに基づく数値法である
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8594140167290099
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this paper, we perform the convergence analysis of unsupervised Legendre--Galerkin neural networks (ULGNet), a deep-learning-based numerical method for solving partial differential equations (PDEs). Unlike existing deep learning-based numerical methods for PDEs, the ULGNet expresses the solution as a spectral expansion with respect to the Legendre basis and predicts the coefficients with deep neural networks by solving a variational residual minimization problem. Since the corresponding loss function is equivalent to the residual induced by the linear algebraic system depending on the choice of basis functions, we prove that the minimizer of the discrete loss function converges to the weak solution of the PDEs. Numerical evidence will also be provided to support the theoretical result. Key technical tools include the variant of the universal approximation theorem for bounded neural networks, the analysis of the stiffness and mass matrices, and the uniform law of large numbers in terms of the Rademacher complexity.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,偏微分方程式(pdes)を解くためのディープラーニングに基づく数値解法であるulgnet(unsupervised legendre-galerkin neural networks)の収束解析を行う。 既存のPDEのディープラーニングベース数値法とは異なり、ULGNetはレジェンダベースに対するスペクトル展開として解を表現し、変分残差最小化問題を解くことでディープニューラルネットワークによる係数を予測する。 対応する損失関数は基底関数の選択に依存する線形代数系によって誘導される残差と等価であるため、離散損失関数の最小化がPDEの弱解に収束することを証明する。 理論的結果を支持する数値的な証拠も提供される。 主要な技術ツールには、有界ニューラルネットワークに対する普遍近似定理の変種、剛性と質量行列の解析、およびラデマッハの複雑性の観点からの大数の均一な法則が含まれる。

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