論文の概要: Multilevel CNNs for Parametric PDEs based on Adaptive Finite Elements

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.10838v1
• Date: Tue, 20 Aug 2024 13:32:11 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-08-21 13:35:12.710097
• Title: Multilevel CNNs for Parametric PDEs based on Adaptive Finite Elements
• Title（参考訳）: 適応有限要素に基づくパラメトリックPDEのためのマルチレベルCNN
• Authors: Janina Enrica Schütte, Martin Eigel,
• Abstract要約: 高次元パラメータ依存偏微分方程式の多値性を利用するニューラルネットワークアーキテクチャが提案されている。 ネットワークは適応的に洗練された有限要素メッシュのデータで訓練される。 適応型マルチレベルスキームに対して完全収束と複雑性解析を行う。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A neural network architecture is presented that exploits the multilevel properties of high-dimensional parameter-dependent partial differential equations, enabling an efficient approximation of parameter-to-solution maps, rivaling best-in-class methods such as low-rank tensor regression in terms of accuracy and complexity. The neural network is trained with data on adaptively refined finite element meshes, thus reducing data complexity significantly. Error control is achieved by using a reliable finite element a posteriori error estimator, which is also provided as input to the neural network. The proposed U-Net architecture with CNN layers mimics a classical finite element multigrid algorithm. It can be shown that the CNN efficiently approximates all operations required by the solver, including the evaluation of the residual-based error estimator. In the CNN, a culling mask set-up according to the local corrections due to refinement on each mesh level reduces the overall complexity, allowing the network optimization with localized fine-scale finite element data. A complete convergence and complexity analysis is carried out for the adaptive multilevel scheme, which differs in several aspects from previous non-adaptive multilevel CNN. Moreover, numerical experiments with common benchmark problems from Uncertainty Quantification illustrate the practical performance of the architecture.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークアーキテクチャは,高次元パラメータ依存偏微分方程式の多値性を利用して,パラメータ対解写像の効率的な近似を可能にする。 ニューラルネットワークは適応的に洗練された有限要素メッシュのデータで訓練されるため、データの複雑さは大幅に減少する。 ニューラルネットワークへの入力としても提供される、信頼性のある有限要素の後部誤差推定器を使用することで、エラー制御を実現する。 CNN層を用いたU-Netアーキテクチャは、古典的有限要素乗算アルゴリズムを模倣する。 CNNは、残差に基づく誤差推定器の評価を含む、解決者に必要な全ての操作を効率的に近似することを示すことができる。 CNNでは、メッシュレベルでの洗練による局所的な修正によるカリングマスクのセットアップにより、全体的な複雑さが低減され、局所化された微細な有限要素データによるネットワーク最適化が可能となる。 適応型マルチレベルスキームの完全収束と複雑性解析は,従来の非適応型マルチレベルCNNといくつかの点で異なる。 さらに、不確実性定量化による一般的なベンチマーク問題による数値実験は、アーキテクチャの実用的な性能を示している。

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